26. Старадаўнія фрыфметычныя задачы антычных часоў
1. З папірусу АХМЕСА (Егіпет, каля 2000 гадоў да н.э.).
Папірус Ахмеса быў знойдзены ў 1858 і часта называецца папірусам Райнда па імені яго першага ўладальніка. У 1870 годзе папірус быў расшыфраваны, пераведзены і выдадзены. Цяпер большая частка рукапісу знаходзіцца ў Брытанскім музеі ў Лондане, а другая частка - у ЗША. Гэты папірус – Старажытнаегіпецкі падручнік па арыфметыцы і геаметрыі.
1. Прыходзіць пастух з 70 быкамі. У яго пытаюць: - Колькі прывёў ты са свайго шматлікага статку? Пастух адказвае: - Я прыводжу дзве трэці ад трэці жывёлы. Палічыце, колькі быкоў ў статку?
2. У доме 7 кошак, кожная кошка з'ядае 7 мышэй, кожная мыш з'ядае 7 каласоў, кожны колас дае 7 раслін, на кожнай расліне 7 мер збожжа. Колькі ўсіх разам ?
3. Падзялі 10 мер хлеба на 10 чалавек, калі рознасць паміж колькасцю хлеба ў кожнага чалавека і ў яго папярэдняга складае 1/8 меры.
З Акмімскага папірусу
1. Нехта ўзяў са скарбніцы 1/13. З таго, што засталося, другі ўзяў 1/17. А пакінуў у скарбніцы 192. Мы хочам даведацца, колькі было ў скарбніцы першапачаткова?
3. Задача старажытнага Вавілона
Вынаходнік шахмат, якому было прапанавана запрасіць любую ўзнагароду, папрасіў пакласці яму ва ўзнагароду на першую клетку шахматнай дошкі адно зерне, на другую - 2 зерняткі, на трэцюю - 4 зярняці і т. д. Колькі зерняў запрасіў мудрэц?
4. Задача Магавіры Знайсці лік паўлінаў у зграі, 1/16 якой, памножаная на сябе, сядзіць на мангавых дрэвах, а квадрат 1/9 астатку разам з 14 іншымі паўлінамі - на дрэве тама.
5. Задачы Бхаскары
Нехта сказаў свайму сябру: "Дай мне 100 рупій, і я буду ўдвая багацей тебя», на што апошні адказаў: «Калі ты мне дасі толькі 10 рупій, я стану ў шэсць разоў багацей за цябе». Пытанне, колькі было ў кожнага?
Задача Брахмагупты (каля 600 г.)
Слон, сланіха і слонік прыйшлі да возера, каб напіцца вады. Слон можа выпіць возера за 3г., сланіха - за 5 г., а слонік - за 6г. За колькі часу яны ўсе разам вып'юць возера?
27. Старажытныя задачы
У самых старажытных рукапісах егіпцян (каля 4 тысяч гадоў) захаваўся папірус Ахмеса. У ім даецца рашэнне 84 задач на розныя вылічэнні, якія могуць спатрэбіцца на практыцы. Некаторыя з гэтых задач здаліся б даволі складанымі вучню- старшакласніку нашай школы. Уяўляеце сабе, як цяжка было іх рашыць 4 тысячы гадоў назад! Бо ў старажытных егіпцян не было ні зручнага спосабу запісу лікаў, ні нашых правілаў арыфметычных дзеянняў, ні табліцы множання. Большая частка задач папірусу Ахмеса заснавана на арыфметыцы: задачы на арыфметычныя дзеянні, на прапарцыянальнае дзяленне і т. д. Пры гэтым згрупаваныя яны не па матэматычным змесце, а па тым, пра што ў іх ідзе гаворка. У Старажытным Егіпце яшчэ не ведалі і не падазравалі аб тым, што невядомыя лікі можна пазначаць літарамі, а потым працаваць з імі як з вядомымі велічынямі. З дробамі ў іх таксама былі складанасці. Аднак егіпцяне прыдумалі метад рашэння такіх задач, які атрымаў назву «метад кучы».
- Задачы Ахмеса
У доме 7 кошак, кожная кошка з'ядае 7 мышэй, кожная мыш з'ядае 7 каласоў, кожны колас дае 7 раслін, на кожнай расліне 7 мер збожжа. Колькі ўсіх разам ?
Тут цікава, што ў задачы трэба адказаць на пытанне: колькі ўсіх разам? Аўтара задачы не цікавіць, пра якія рэчы або прадметы ідзе гаворка, аднастайныя яны ці разнастайныя, - важна толькі іх агульная колькасць. Значыць, вельмі даўно егіпцяне ўжо прадстаўлялі сабе не лік кошак, ці каласоў, або мышэй, а менавіта сам па сабе лік. Але ж гэта зусім не так проста. Некаторыя задачы былі не вельмі складаныя, але падводзілі да цікавых высноў. Такая задача, як папярэдняя. У ёй трэба злічыць суму пяці лікаў, з якіх кожны наступныў 7 разоў больш за папярэдні. Каб рашыць яе, трэба было толькі цярпліва памнажаць на 7 і складаць. Такія сумы часта сустракаюцца і атрымалі асаблівую назву: сума геаметрычнай прагрэсіі.
У XIII стагоддзі італьянскі матэматык Леанарда Пізанскі, па мянушцы Фібаначы, прывёў у сваёй кнізе задачу, амаль не адрозную ад егіпецкай (хоць з часоў Ахмеса і мінула некалькі тысячагоддзяў): Сем старых жанчын адправіліся ў Рым. У кожнай старой па сямі аслоў, кожны асёл нясе па сямі мяшкоў, у кожным мяшку па сямі збажыны, у кожным хлебе па сямі нажоў, кожны нож у сямі ножнах. Колькі ўсяго прадметаў? Ад задачы Ахмеса яна адрозніваецца дадаваннем аднаго складаемага.
І на Русі рашаліся падобныя задачы. Яшчэ ў XIX стагоддзі ў вёсках загадвалі: «Ішлі сем старцаў. У кожнага старца па сямі мыліц. На кожным кастылі па сямі сучкоў, на кожным сучку па сямі кашалёў, у кожным кашалі па сямі пірагоў, у кожным пірагу па сямі вераб'ёў. Колькі ўсяго?» Тая ж задача Ахмеса! Пражыўшы тысячагоддзі, яна захавалася амаль нязменнай!
Старадаўняе рашэнне задач: 7 + 7 * 7 + 7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 19607. Сучаснае рашэнне задач: па формуле сумы першых 5 членаў геаметрычнай прагрэсіі: S5 = 7 * (75 - 1) = 19607. 7 - 1 Адказ: усіх разам 19607.
Старадаўнія рускія задачы з кнігі Л.Ф.Магніцкага «Арыфметыка»
Задача1 Ляцела чарада гусей, а насустрач ім яшчэ гусь. Гусь кажа: «Добры дзень, сто гусей». А яму адказваюць: "Нас не сто гусей, а менш. Калі б нас было столькі, ды яшчэ столькі, ды яшчэ паўстолькі, ды яшчэ чвэрць столькі, ды ты, гусь вось тады нас было б сто гусей».
Егіпецкі матэматык Ахмес, вырашаючы гэтую задачу, сказаў бы: «Лічы з чатырох». Гэта азначала: «Лічы, што ў зграі было 4 гусакі». Тады па ўмове задачы атрымаем: 4 + 4 + 2 + 1 = 11 (гусей). А так як трэба атрымаць не 11, а 99 гусей (100 - 1 = 99; 99: 11 = 9), то трэба узяты спачатку лік 4 памножыць на 9. Атрымаецца правільны адказ - 36 гусей. Паколькі спачатку робіцца няправільнае меркаванне, што колькасць гусей роўна 4, гэты спосаб называюць зараз «Правілам фальшывага становішча» або «фальшывым правілам».
Задача 2 У настаўніка спыталі: «Колькі маеш вучняў у сябе, бо хачу аддаць сына да цябе ў вучылiшча". Настаўнік адказаў: «Калі да мяне прыйдзе вучняў яшчэ столькі ж, колькі маю, і паўстолькі, і чацвёртая частка, і твой сын, тады ў мяне вучняў будзе 100 ». Колькі было ў настаўніка вучняў?
Робім першую здагадку: вучняў было 24. Тады па сэнсе задачы да гэтага ліку трэба дадаць «столькі, паўстолькі, чвэрць столькі і 1», мелі б: 24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67, гэта значыць на 100-67 = 33 менш (чым патрабавалася па ўмове задачы), лік 33 называем «першым адхіленнем». Робім другую здагадку: вучняў было 32. Тады мелі б: 32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89, гэта значыць на 100-89 = 11 менш гэта «другое адхіленне». На выпадак, калі пры абодвух здагадках атрымалася менш, даецца правіла: памножыць першы сказ на другое адхіленне, а другі сказ на першае адхіленне, адняць ад большага здабытку меншы і рознасць падзяліць на рознасць адхіленняў: 32 * 33 - 24 * 11 33 - 11 = 36. Вучняў было 36. Такім жа правілам трэба кіравацца, калі пры абеіх здагадках атрымалася больш, чым належыць па ўмове. Напрыклад: Першае меркаванне: 52. 52 + 52 + 26 + 13 + 1 = 144. Атрымалі на 144-100 = 44 больш (першае адхіленне). Другая здагадка: 40. 40 + 40 + 20 + 10 + 1 = 111.Атрымалі на 111-100 = 11 больш (другое адхіленне). 40 * 44-52 * 11= 44 11 = 36. Калі пры адной здагадцы атрымаем больш, а пры іншым менш, чым патрабуецца па ўмове задачы, то трэба пры названых вышэй вылічэннях браць не рознасці, а сумы.
28. Займальныя задачы.
Вашай увазе прапануюцца цікавыя, самабытныя матэматычныя задачы і задачы на кемлівасць, у тым ліку старадаўнія, якія рашаў М. В. Ламаносаў, выкарыстоўваў у сваёй педагагічнай практыцы Л. М. Талстой, а таксама задачы-казкі, задачы-жарты, цікавыя пытанні і задачы .
- Вядомы нямецкі матэматык Карл Гаўс яшчэ ў школе праявіў незвычайныя матэматычныя здольнасці. Аднойчы школьны настаўнік прапанаваў вучням скласці разам усе лікі ад 1 да 100 уключна. Не паспеў настаўнік паўтарыць заданне, як маленькі Карл сказаў: «Гатова, сума ўсіх лікаў 5050». Увесь клас і сам настаўнік былі здзіўлены такім хуткім рашэннем задачы.
Калі хлопчыка спыталі, як ён рашыў яе, Карл растлумачыў, што...
Паспрабуйце і вы здагадацца, як ён так хутка зрабіў вылічэнне.
- Выпадак са шкарпэткамі
У Галі было тры пары жоўтых і пяць пар белых шкарпэтак. У шуфлядзе яны ляжаць уперамешку. Аднойчы вечарам Галя збіралася ў госці і хацела змяніць шкарпэткі, але раптам патухла святло.
Колькі шкарпэтак павінна была ўзяць Галя з шуфляды наўгад, каб быць упэўненай, што сярод іх будзе дзве аднаго колеру?
- Задача, прапанаваная Івану Пятрову
Вылічыце вусна, колькімі спосабамі можна заплаціць 78 рублёў, маючы купюры трох- і пяцірублёвай вартасці.
Гэта адна з 12 задач, прапанаваных 11-гадоваму Івану Пятрову, які не ўмеў ні чытаць, ні пісаць, але любіў вусна рабіць арыфметычныя падлікі. Іван Пятроў — сын селяніна Кастрамской губерні. Праверка матэматычных здольнасцей хлопчыка праводзілася ў Кастрамской гімназіі ў маі 1834 г. На ўсе задачы Пятроў даў правільныя адказы, затраціўшы на іх рашэнне каля адной гадзіны.
Задачу, якая прыведзена вышэй, Іван Пятроў рашыў усімі шасцю спосабамі. Паспрабуйце вызначыць якімі.
- Колькі часу?
— Колькі цяпер часу? — спытаў Міша ў бацькі.
— А вось падлічы: да канца сутак засталося ў тры разы менш таго часу, які прайшоў ад іх пачатку.
Колькі ж было часу?
- Загадкі-жарты
- Сума якіх лікаў не зменіцца, калі чытаць іх перавернутымі?
- Якія лікі, калі іх перавярнуць, павялічваюцца ў паўтара раза?
- Сын і бацька
Бацьку 29 гадоў, сыну 8. Калі сын будзе маладзейшы за бацьку ў два разы?
- Як падзяліць сотню?
Падзяліце лік 100 на 4 часткі, памятаючы, што калі ад першага ліку адняць 4, да другога дадаць 4, трэці памножыць на 4, а чацвёрты падзяліць на 4, то ва ўсіх чатырох выпадках атрымаецца аднолькавы вынік.
- Браты і сёстры
У хлопчыка столькі ж сясцёр, колькі і братоў, а ў яго сястры ў два разы менш сясцёр, чым братоў. Колькі ўсяго братоў і сясцёр?
- Вароны і бярозы
Сталі вароны садзіцца па адной на бярозу - не хапіла адной бярозы. Сталі садзіцца па дзве на бярозу - адна бяроза аказалася лішняй. Колькі было варон і колькі бяроз?
- Цяжкая пераправа
Аднойчы Міша, Вася, Коля і Пеця падышлі да ракі. Ля берага стаяў маленькі плыт. Ён мог вытрымаць толькі 80 кілаграмаў. Коля і Пеця важылі па 40 кг, Міша - 50 кг, а Вася 65. Як жа яны пераправіліся цераз раку?
29. Некаторыя задачы рускіх пісменнікаў.
Задача Л.Н.Талстога «Талака касцоў» Вядомы фізік А. В. Цынгер ў сваіх успамінах пра Л. Н. Талстога распавядае аб наступнай задачы, якая вельмі падабалася вялікаму пісьменніку: «Арцелі касцоў трэба было скасіць два лугі, адзін ўдвая большы за другі . Палову дня арцель касіла вялікі луг. Пасля гэтага арцель падзялілася напалову: першая палова засталася на вялікім лузе і дакасілі яго да вечара да канца; другая ж палова касіла малы луг, на якім да вечара яшчэ застаўся ўчастак, скошаны на другі дзень адным з касцоў за адзін дзень працы. Колькі касцоў было ў арцелі?»
Рашэнне задачы .
За адзінку (1) прымем дзённы аб'ём працы арцелі. Калі касцоў, да прыкладу, 10, то на аднаго чалавека прыходзіцца ў дзень 1/10 частка працы. Г.зн. калі мы даведаемся, якая частка работ прыпадае на аднаго, то будзем ведаць лік касцоў. А ва ўмове задачы ёсць такі ўчастак, гэта луг, скошаны на другі працоўны дзень. 1. Першую палову дня ўсе працавалі на першым полі, а значыць, яны зрабілі 1/2 ўсёй працы. У другой палове дня на гэтым полі працавала палова арцелі і таму зрабілі ў 2 разы менш - 1/4. Усяго першае поле складае 1/2 + 1/4 = 3/4. Г.зн. першае поле - гэта 3/4 ад усёй працы арцелі за дзень. На другім полі ў той дзень зроблена 1/4 - тут палова арцелі працавала палову дня. Заўважым, мы ўлічылі ўвесь дзённы аб'ём работ, праверым: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1. На другі дзень засталася дзённая норма аднаго касца. Зараз вядома, што першае поле ў 2 разы больш другога, г.зн. 3/4 = 2 * (1/4 + доля аднаго работніка). Адсюль доля аднаго работніка роўная = 3/4 * 1/2 - 1/4. Вылічаем, знаходзім 1/8. Значыць у арцелі 8 касцоў. Пасля друкавання першага выдання «займальныя алгебры» праф. А. В. Цингер даслаў аўтару падрабязнае і вельмі цікавае паведамленне, якое тычыцца гэтай задачы. Галоўны эфект задачы, на яго думку, у тым, што «яна зусім не алгебраічная, а арыфметычная і прытым вельмі простая, якая складаная толькі сваёй нешаблоннай формай».
«Гісторыя гэтай задачы такая, - працягвае праф. А. В. Цынгер. - У Маскоўскім універсітэце на матэматычным факультэце ў тыя часы, калі там вучыліся мой бацька і мой дзядзька І. І. Раеўскі (блізкі сябар Л. Талстога), сярод іншых прадметаў выкладалася нешта накшталт педагогікі. Для гэтай мэты студэнты павінны былі наведваць адведзеную для універсітэта гарадскую народную школу і там у супрацоўніцтве з вопытнымі настаўнікамі практыкавацца ў выкладанні. Сярод сяброў Цынгера і Раеўскага быў нейкі студэнт Пятроў, па расказах - надзвычай адораны і арыгінальны чалавек. Гэты Пятроў (памерлы вельмі маладым, здаецца, ад сухотаў) сцвярджаў, што на ўроках арыфметыкі вучняў псуюць, прывучаючы іх да шаблонных задачі да шаблонных спосабаў рашэння. Для пацверджання сваёй думкі Пятроў вынаходзіў задачы, якія з прычыны не шаблоннасці вельмі абцяжарвалі «вопытных настаўнікаў», але лёгка рашаліся больш здольнымі вучнямі, яшчэ не сапсаванымі вучобай. Да ліку такіх задач (іх Пятроў напісаў некалькі) адносіцца і задача аб арцелі касцоў. Вопытныя настаўнікі, зразумела, лёгка маглі рашыць яе пры дапамозе ўраўнення, але простае арыфметычнае рашэнне ад іх выпадала. Між тым, задача настолькі простая, што прыцягваць для яе вырашэння алгебраічны апарат зусім не варта. Калі вялікі луг паўдня касіла ўся арцель і паўдня паўарцелі, то ясна, што ў паўдня паўарцелі скошваць 1/3 луга. Такім чынам, на малым лузе застаўся няскошаны ўчастак у 1 / 2 - 1/3 = 1/6. Калі адзін касец у дзень скошвае 1/6 луга, а скошана было 6/6 + 2/6 = 8/6, то касцоў было 8. Талсты, усё жыццё любіў фокусныя, не занадта хітрыя задачы, гэтую задачу ведаў ад майго бацькі яшчэ з маладых гадоў. Калі аб гэтай задачы прыйшлося гутарыць мне з Талстым - ужо старым, яго асабліва захапіла тое, што задача робіцца нашмат больш ясна і празрысцей, калі пры рашэнні карыстацца самым прымітыўным чарцяжом ».
Задача ад А.П. Чэхава. У сваім апавяданні «Рэпетытар» Антон Паўлавіч Чэхаў прапануе цікавую задачу. Паслухайце урывак з гэтага твора: Гімназіст VII класа Ягор Зібераў міласціва падае Пеці Удодаву руку. Пеця, дванаццацігадовы хлопчык у шэрым касцюме, пухлы і ружовашчокі, з маленькім ілбом і пушыстымі валасамі, вітаецца і лезе ў шафы за сшыткамі. Занятак пачынаецца ... «Ну-с, - звяртаецца ён да Пеці. - Цяпер па арыфметыцы ... Бярыце дошку. Якая наступная задача? Пеця плюе на дошку і сцірае рукавом. Настаўнік бярэ задачнік і дыктуе: - «Купец купіў 138 арш. чорнага і сіняга сукна за 540 руб. Пытаецца, колькі аршын купіў ён таго і іншага, калі сіняе каштавала 5 руб. за аршын, а чорнае 3 руб.? » Паўтарыце задачу. Петя паўтарае задачу і адразу ж, ні слова не кажучы, пачынае дзяліць 540 на 138. - Для чаго ж гэта вы дзеліце? Пастойце! Зрэшты, так ... працягвайце. Рэшта атрымліваецца? Тут не можа быць астатку. Дайце-ка я падзялю! Зібераў дзеліць, атрымлівае 3 з астаткам і хутка сцірае. «Дзіўна ... - думае ён, уз’ярошваючы валасы і чырванеючы. - Як жа яна рашаецца? Гм! .. Гэта задача на нявызначаныя ўраўненні, а зусім не арыфметычная »... Настаўнік глядзіць у адказы і бачыць 75 і 63.« Гм! .. Дзіўна ... Скласці 5 і 3, а потым дзяліць 540 на 8? Так, ці што? Не, не тое ». - Рашайце жа! - Кажа ён Пеці. - Ну, чаго думаеш? Задача-то дробязная! - Кажа Удодаў Пецю. - Эх, які ты дурань, братка! Рашыце ўжо вы яму, Ягор Аляксеевіч. Ягор Аляксеевіч бярэ ў рукі грыфель і пачынае рашаць. Ён заікаецца, чырванее, бляднее. - Гэтая задача, уласна кажучы, алгебраічная, - кажа ён. - Яе з Іксом і Ігрэк рашыць можна. Зрэшты, можна і так рашыць. Я, вось, падзяліў ... разумееце? Цяпер, вось, трэба адняць ... разумееце? Ці, вось што ... Вы рашыце мне гэтую задачу самі да заўтра ... Падумайце ... Пеця яхідна усміхаецца. Ўдодаў таксама ўсміхаецца. Абодва яны разумеюць замяшанне настаўніка. Вучань VII класа яшчэ павялічвае канфуз, устае і пачынае хадзіць з кута ў кут. - І без алгебры рашыць можна, - кажа Удодаў, працягваючы руку да счотаў і ўздыхаючы. - Вось, дазвольце бачыць ... Ён шчоўкае на счотах, і ў яго атрымліваецца 75 і 63, што і трэба было. - Вось-с ... па-нашаму, па-нявучанаму. Настаўніку становіцца нясцерпна жудасна ... У апавяданні А. П. Чэхава «Рэпетытар» гімназіст Ягор Зібераў не здолеў рашыць арыфметычную задачу, а бацька вучня, адстаўны губернскі сакратар Удодаў, папстрыкаў на счотах, атрымаў правільны адказ.
Рашэнне задачы Паспрабуем рашыць гэтую задача арыфметычна. Вось яна. Купец купіў 138 аршын чорнага і сіняга сукна за 540 руб. Пытаецца, колькі аршын купіў ён і таго і іншага, калі сіняе каштавала 5 руб. за аршын, а чорнае - 3 руб.? Калі б купец набыў сукно аднаго тыпу, напрыклад сіняе, то ён заплаціў бы 138 * 5 = 690 руб. Якая ўтварылася рознасць у 150 руб. атрымана за кошт таго, што чорнае сукно падвышана ў цане на 2 руб. Значыць, чорнага сукна было 150: 2 = 75 аршын, а сіняга было 138-75 = 63 аршыны.
Задача сербскага сатырыка Браніслава Нушыча з яго «Аўтабіяграфіі» Калі шафёру спадара міністра сацыяльнага забеспячэння 40 гадоў 3 месяцы і 12 дзён, а мост у горадзе Квібек ў Канадзе мае даўжыню 577 метраў, то на колькіх жаўтках трэба замясіць лакшыну, каб накарміць чатырох чалавек рознага ўзросту, калі прыняць да ўвагі, што шырыня палатна на чыгунках Босніі 0,7 метра?
Ці можна рашыць гэтую задачу старадаўнім спосабам? Не. Задача не мае рашэння. Па яе умове таксама нельга скласці і ўраўненне, таму што зададзеныя велічыні паміж сабой ніяк не звязаныя. Яны не маюць ніякага дачынення адзін да аднаго.
Комментариев нет:
Отправить комментарий