Готовимся к олимпиаде

Задания районного этапа республиканской олимпиады по математике в 2017/2018 учебном году 8-10 классы

Задания районной олимпиады по математике 5 класс

Областная олимпиада по математике 7 класс

Из чашки с кофе в чашку с молоком перелили ложку кофе, затем такую же ложку смеси перелили обратно. Чего больше: молока в чашке с кофе или кофе в чашке с молоком?

Проверь себя

Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6 × 6 из чисел +1, −1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Помогите Буратино.

Проверь себя

Можно ли покрыть равносторонний треугольник  двумя равносторонними треугольниками меньшего размера?

Проверь себя

Докажите, что число n³ − n делится на 6 при всех целых n.

Проверь себя

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого?

Проверь себя

Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Проверь себя 

Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале? 

Проверь себя

Имеется 30 бревен длинами 3 и 4 м, суммарная длина которых равна 100 м. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длиной 1 м? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно).

Проверь себя

6 класс.

1. Малышу 1 января  подарили мешок шоколадных конфет, в котором было 222 конфеты. Каждый день Малыш съедал одну конфету. По воскресеньям к нему прилетал Карлсон, и Малыш угощал его парой конфет. Сколько конфет съел Карлсон? (1 января  – понедельник).

2. На дне рождения у Васи каждый мальчик (и Вася тоже!) съел по 4 пирожных и по 3 кекса, а каждая девочка – по одному пирожному и 2 кекса. Оказалось, что число съеденных детьми пирожных равно числу съеденных ими кексов. Кого из гостей было больше на дне рождения у Васи, мальчиков или девочек, и на сколько?

3.  На кружке физики учитель  поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, …, 16 грамм так, что одна из чашек перевесила. Пятнадцать учеников класса по очереди выходили из класса и забирали с собой одну гирьку, причем после выхода каждого ученика перевешивала противоположная чашка весов. Какая гирька осталась на весах? Ответ обосновать.

4. В клетчатом квадрате 5´5 в клетках одной из главных диагоналей стоят единички, а в остальных клетках – нули. В любой из строк или столбцов этого квадрата можно поменять все единички на нули и наоборот. Можно ли за несколько таких операций получить квадрат, во всех клетках которого стоят одни нули?

⇰Проверь себя

7 класс.

1. Решить уравнение: (1 – 2(1 – 2(1 - …2(1-2х)…))) = х (всего 10 двоек. (ответ представить в виде несократимой дроби.)

2. В выражении (А+Б):В+Г буквы заменили на цифры 1, 2, 3 и 4 (различным буквам соответствуют различные цифры). Какое наименьшее значение этого выражения может при этом получиться?

3. Переставьте в “равенстве ” 20 ´ 203 = 4114 цифры так, чтобы получилось действительно верное равенство.

4. Можно ли разрезать правильный треугольник на 17 (не обязательно равных) правильных треугольника ?

5. В ряд посажено n деревьев. На каждом дереве висит табличка, указывающая, сколько дубов имеется в следующей группе деревьев: само это дерево и его ближайшие соседи (для первого – последующее дерево, для последнего – предыдущее, для остальных предыдущее и последующее). Можно ли по этим табличкам всегда однозначно определить, какие из деревьев являются дубами, если а) n =7; б) n = = 8.

8 класс.

1. Четырехзначное число разложили на простые множители. Затем заменили Цифры буквами (различные цифры – различными буквами) и получили следующее равенство:

АБВГ = Г ´ ВВ ´ ДВ

Восстановите это разложение.

2. Докажите, что если х₁х₂ + х₂х₃ + х₃х₄ + х₄х₁ > 0, то х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ¹ 0.

3. Докажите, что для любых х₉, х₁, х₂, х₃, х₄ выполнено неравенство

.хο²+ х_{1 ² +} х_2²+ х_3²+ х₄ ² ≥ хο(х₁₊ х₂₊ х₃₊ х₄₎

4. Отрезки АВ, CD и EF пересекаются в точке О. При этом тока Е находится внутри отрезка АС, а точка F – внутри отрезка BD. Доказать, что EF < AB + CD.

5. В ряд посажено n > 2 деревьев. На каждом дереве висит табличка, указывающая, сколько дубов имеется в следующей группе деревьев: само это дерево и его ближайшие соседи. При каком наименьшем n по этим табличкам не всегда можно однозначно установить, какие из данных деревьев дубы?

9 класс.

1. В выражении (А-Б):В+Г буквы заменили на ненулевые цифры  (различным буквам соответствуют различные цифры). Какое наименьшее значение этого выражения может при этом получиться? Сколько решений (то есть расстановок цифр по буквам, при котором это значение достигается) имеет задача?

2. Пусть АD – биссектриса DАВС. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в DABD и DACD равны, то DАВС – равнобедренный.

3.  x и y – натуральные числа. Докажите, что если число x² –7xy + y² делится на три, то оно делится и на девять.

4. а) Докажите, что между двумя последовательными степенями тройки                                   (т.е. числами вида 3ⁿ и 3ⁿ⁺¹) всегда есть хотя бы одна степень двойки (т. е. число вида 2^m)

б) Какое наибольшее число степеней двойки может находиться между двумя последовательными степенями тройки?

5. Лес представляет из себя невыпуклый многоугольник, ограниченный замкнутой несамопересекающейся ломаной. Двое друзей вышли из некоторых точек А и В, расположенных вне леса и, двигаясь строго по прямым, встретились в некоторой точке С. При этом они многократно оказывались то в лесу, то на его границе, то вне леса. По предварительному уговору, каждый из друзей, в очередной раз оказываясь на границе леса, ставил в своем блокноте крестик. В момент встречи оказалось, что общее число крестиков поставленных друзьями равно 17. Докажите, что один из друзей побывал в одной из вершин ломаной, ограничивающей лес, либо встреча произошла на границе леса.