10. Цікавыя спосабы вылічэння
Складанне
Асноўнае правіла для выканання складання ў памяці гучыць так: каб дадаць да ліку 9, патрэбна дадаць да яго 10 і адняць 1; каб дадаць 8, патрэбна дадаць 10 і адняць 2; каб дадаць 7, патрэбна дадаць 10 і адняць 3 і г.д.
Напрыклад:
56 + 8 = 56 + 10-2 = 64;
65 + 9 = 65 + 10-1 = 74.
Складанне ў памяці двухзначных лікаў
Калі лічба адзінак у дадаваемым ліку больш 5, то лік неабходна акругліць у бок павелічэння, а затым адняць памылку акруглення з атрыманай сумы. Калі ж лічба адзінак менш 5, то прыбаўляем спачатку дзесяткі, а потым адзінкі.
Напрыклад:
34 + 48 = 34 + 50-2 = 82;
27 + 31 = 27 + 30 + 1 = 58.
Складанне трохзначных лікаў
Складаюць злева направа, гэта значыць спачатку сотні, потым дзесяткі, а затым адзінкі.
Напрыклад:
359 + 523 = 300 + 500 + 50 + 20 + 9 + 3 = 882;
456 + 298 = 400 + 200 + 50 + 90 + 6 + 8 = 754.
Адніманне
Каб адняць лікі ў памяці, патрэбна акругліць адымаемае, а затым падкарэктаваць атрыманы адказ.
56-9 = 56-10 + 1 = 47;
436-87 = 436-100 + 13 = 349.
Адніманне лікаў меншых за 100 ад лiкаў большых за 100.
Калі адымаецца менш 100, а памяншае больш 100, але менш 200, ёсць просты спосаб вылічыць рознасць у памяці.
134-76 = 58; 76 на 24 менш за 100. 134 на 34 больш 100. Дададзім 24 да 34 і атрымаем адказ: 58.
152-88 = 64; 88 на 12 менш за 100, а 152 больш 100 на 52, значыць 152-88 = 12 + 52 = 64
Розныя спосабы множання і дзялення
1) Множанне і дзяленне ліку на 4
Каб памножыць лік на 4, трэба яго двойчы памножыць на 2. Напрыклад: 26 • 4 = (26 • 2) • 2 = 52 • 2 = 104; 417 • 4 = (417 • 2) • 2 = 834 • 2 = 1668. Каб падзяліць лік на 4, трэба яго двойчы падзяліць на 2. Напрыклад: 324: 4 = (324: 2): 2 = 162: 2 = 81.
2) Множанне і дзяленне ліку на 5
Каб памножыць лік на 5, трэба яго памножыць на 10 і падзяліць на 2. Напрыклад: 236 • 5 = (236 • 10): 2 = 2360: 2 = 1180. Каб падзяліць лік на 5, трэба памножыць на 2 і падзяліць на 10, г.зн. аддзяліць коскай апошнюю лічбу. Напрыклад: 236: 5 = (236 • 2): 10 = 472: 10 = 47,2.
3) Множанне лікаў на 1,5
Каб памножыць лік на 1,5, трэба да зыходнага ліку дадаць яго палову. Напрыклад: 34 • 1,5 = 34 + 17 = 51; 146 • 1,5 = 146 + 73 = 219.
4) Множанне лікаў на 9.
Каб памножыць лік на 9, трэба да яго прыпісаць 0 і адняць зыходны лік. Напрыклад: 72 • 9 = 720-72 = 648.
5) Множанне на 25 ліку, які дзеліцца на 4.
Каб памножыць на 25 лікі, якія дзеляцца на 4, трэба яго падзяліць на 4 і атрыманы лік памножыць на 100. Напрыклад: 124 • 25 = (124: 4) • 100 = 31 • 100 = 3100.
6) Множанне двухзначнага ліку на 11
Пры множанні двухзначнага ліку на 11, трэба паміж лічбай адзінак і лічбай дзясяткаў ўпісаць суму гэтых лічбаў, прычым, калі сума лічбаў больш за 10, то адзінку трэба дадаць да старэйшага разраду (першай лічбе). Напрыклад: 23 • 11 = 253, бо 2 + 3 = 5, таму паміж 2 і 3 ставім лічбу 5; 57 • 11 = 627, бо 5 + 7 = 12, лічбу 2 ставім паміж 5 і 7, а да 5 прыбаўляем 1, замест 5 пішам 6. «краёчкам складзі, у сярэдзінку пакладзі" - гэтыя словы дапамогуць лёгка запомніць дадзены спосаб множання на 11. Такі спосаб падыходзіць толькі для множання двухзначных лікаў.
7) Множанне двухзначнага ліку на 101.
Для таго, каб лік памножыць на 101, трэба прыпісаць дадзены лік да самога сябе. Напрыклад: 34 • 101 = 3434. Растлумачым, 34 • 101 = 34 • 100 + 34 • 1 = 3400 + 34 = 3434.
8) Узвядзенне ў квадрат двухзначнага ліку, які заканчваецца на 5.
Каб узвесці ў квадрат двухзначны лік, якія заканчваецца лічбай 5, патрэбна лічбу дзясяткаў памножыць на лічбу большую на адзінку і да атрыманага выніку прыпісаць справа лік 25.
Напрыклад: 352 = 1225, т .е. 3 • 4 = 12 і да 12 прыпісваем 25, атрымліваем 1225.
9) Узвядзенне ў квадрат двухзначнага ліку, які пачынаецца на 5.
Для ўзвядзення ў квадрат двухзначнага ліку, што пачынаецца на пяць, патрэбна дадаць да 25 другую лічбу ліку і прыпісаць справа квадрат другой лічбы, прычым, калі квадрат другой лічбы - адназначны лік, то перад ім трэба прыпісаць лічбу 0. Напрыклад: 522 = 2704, бо 25 + 2 = 28 і 22 = 04; 582 = 3364, бо 25 + 8 = 33 і 82 = 64.
Лічыць людзі навучыліся даўно, і ў кожнага народа была свая манера лічэння. Лічэнне на пальцах было распаўсюджана практычна ва ўсіх народаў. Вывучаючы гісторыю ўзнікнення лічэння, мы сустракаем цікавыя прыёмы пальцавага ліку. Яго ўзнікненне было выклікана неабходнасцю хуткага выканання арыфметычных аперацый у практычнай дзейнасці людзей, прычым гэтаму дзеянню надавалася неабходная тады нагляднасць. Такім чынам, простыя арыфметычныя дзеянні з дапамогай пальцаў ажыццяўляліся як бы на свайго роду «падліковай машыне». І гэта былі не толькі простыя спосабы паступовага загінання пальцаў, а арыгінальныя прыёмы. У большасці людзей правая рука больш актыўная, таму лічэнне звычайна пачыналі з вялікага пальца або мезенца левай рукі, дакранаючыся правай рукой да пальцаў левай рукі, альбо загінаючы пальцы левай рукі, альбо адгінаючы пальцы, раней сціснутыя ў кулак. Можна прывесці прыклады і іншых спосабаў лічэння. Напрыклад, жыхары астравоў Бенгальскага заліва пачыналі лічэнне з мезенца, дакранаючыся да свайго носа чарговым пальцам. А на востраве паміж Аўстраліяй і Новай Гвінеяй людзі лічылі да пяці, пастукваючы пальцамі левай рукі. Затым яны пераходзілі не на правую руку, а на левае запясце, локаць, плячо, левую старану грудзей і т. Д. І працягвалі лічэнне, змяняючы гэты парадак на зваротны, але ўжо з правага боку цела. Матэматыкі заўважылі, што пастукванне пры ліку ўжывалася для абазначэння парадкавых лікаў (першы, другі і т. д.), А калі пальцы падымаліся адразу, то гэта азначала колькасныя лікі». Рымляне шляхам выпроствання і загінання пальцаў, а таксама шляхам выцягвання і складання рук, умелі паказваць лікі ад аднаго да мільёна. Пры гэтым тры пальцы левай рукі, пачынаючы з мезенца, служылі ў іх у розных камбінацыях для простых адзінак, астатнія пальцы левай рукі - для дзясяткаў, вялікі і ўказальны пальцы правай рукі-для сотняў, а іншыя - для тысяч. Каб паказаць простую адзінку, яны загінаюць мезенец, каб выявіць двойку – 4-ы і 5-ы пальцы. Лік 90 пазначаўся указальным пальцам, прыхіленым да далоні. Для абазначэння дзясяткаў тысяч яны клалі левую руку на грудзі, сцягно, для сотняў тысяч карысталіся такім жа чынам правай рукой. Складанне рук крыж-накрыж адпавядала мільёну. Рымляне не толькі маглі выказваць на пальцах вялікія лікі, але і ўмелі выконваць пры дапамозе пальцаў некаторыя дзеянні. Пальцавае лікчэнне было распаўсюджана таксама ў Грэцыі і на Усходзе, у сярэднявечнай Еўропе і ў іншых краінах. І цяпер яшчэ некаторыя народы хутка і па-майстэрску праробліваюць на пальцах множанне лікаў першага дзесятка.
Некаторыя прыклады выканання дзеянняў пры дапамозе пальцаў.
Множанне на 9
Кладзём перад сабой далоні абедзвюх рук. Для таго каб атрымаць вынік множання 9 на 6, Захіліце 6-ы палец, лічачы злева, - гэта вялікі палец правай рукі. Злева ад загнутага пальца-5 пальцаў, справа-4, атрымаем 54. Памножым 9 на 3. загінаецца 3-ці палец злева. Злева ад яго - 2 пальцы і справа - 7, атрымаем 27 і т. д.
Прыклад множання з дапамогай рук лікаў першага дзесятка, большых за 5.
Няхай патрэбна памножыць 7 на 9. Загінаецца на адной руцэ столькі пальцаў, на колькі 7 больш 5, а на іншы руцэ - на колькі 9 больш 5. Такім чынам, на адной руцэ загнуты 2 пальцы, не загнутыя 3, на другой руцэ загнутыя 4 пальцы і не загнуты 1 палец. Складзём колькасці загнутых пальцаў (2 + 4 =6), што дасць лік дзясяткаў, і перамножым лік незагнутых пальцаў (3 Х 1 = 3), што дасць лік адзінак.У выніку атрымаем 63
Памножым 6 на 8. На левай руцэ загінаем 1 палец, на правай - 3. Загнутыя пальцы складаем (3 + 1 = 4), атрымліваем дзесяткі. Лік незагнутых пальцаў перамнажаецца (4 Х 2 = 8), атрымліваем адзінкі. Адказ: 48
12. Складанне некалькіх паслядоўных лікаў натуральнага раду
Калі настаўнік аднаго, у будучыні вядомага вучонага, хацеў, каб у класе хоць бы гадзіну стаяла цішыня, ён задаваў вучням задачы, якія патрабуюць складаных разлікаў. Дзеткі доўга сядзелі круком над сваімі арыфметычнымі задачамі. А ў гэтага хлопчыка, якому ў той час было 9 гадоў, адказы былі гатовыя ўжо праз некалькі секунд. Аднойчы настаўнік прапанаваў вусна знайсці суму натуральных лікаў ад 1 да 100. Не паспеў настаўнік скончыць запіс на дошцы, як у хлопчыка быў гатовы адказ- 5050. 
Хто гэты вучань? Вядома, гэта нямецкі вучоны Карл Фрыдрых Гаус(1777 - 1855). Настаўнік быў так уражаны, што на ўласныя грошы ён купіў самы лепшы падручнік арыфметыкі, які змог дастаць, і падарыў яго Гаусу. Хлопчык хутка прарашў яго. «Ён абагнаў мяне, - сказаў настаўнік Бютнер, я нічаму больш не магу яго навучыць».
Гаус казаў: «Матэматыка - царыца навук, арыфметыка - царыца матэматыкі». І самога яго па праву называюць «каралём матэматыкі».
Паспрабуем і мы палічыць, ужываючы прыёмы вусных вылічэнняў Гауса.
Напрыклад, знайдзіце значэнне выразу: 42 + 43 + 44 + 45 + 46; 44 ∙ 5 = 220
Каб скласці некалькі паслядоўных лікаў натуральнага раду (лікаў няцотная колькасць), трэба складаемае, размешчанае пасярэдзіне, памножыць на колькасць складаемых.
Напрыклад: 36 + 37 + 38 + 39 + 40 = 190;
127+ 128 + 129 + 130 + 131 + 132 + 133 = 910
Каб скласці некалькі паслядоўных лікаў натуральнага раду (лікаў цотная колькасць), трэба ўзяць два лікі, якія стаяць пасярэдзіне і іх суму памножыць на палову колькасці складаемых.
32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 = (35 + 36) ∙4 = 71 ∙ 4 = 284
12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 +19 = (15 + 16) ∙ 4= 31 ∙ 4 = 124
22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = (24 + 25) ∙ 3= 147.
13. Старадаўні спосаб вылічэння
Сялянскі метад
У Расіі некалькі стагоддзяў назад сярод сялян некаторых губерніяў быў распаўсюджаны спосаб, які не патрабаваў веданне ўсёй табліцы множання. Трэба было толькі ўмець перамнажаць і дзяліць на 2. Гэты спосаб атрымаў назву сялянскіх (існуе меркаванне, што ён бярэ пачатак ад егіпецкага). Запішам лічбы на адным радку, правядзем паміж імі вертыкальную рысу
Прыклад: памножым 47 на 35:
- левы лік будзем дзяліць на 2,
- правы - множыць на 2 (калі пры дзяленні ўзнікае астача, то астачу адкідаем); дзяленне заканчваецца, калі злева з'явіцца адзінка;
- выкрэсліваем тыя радкі, у якіх стаяць злева цотныя лікі;
- далей, пакінутыя справа лікі складаем - гэта вынік.
- 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
Метад «рашоткі»
Выдатны арабскі матэматык і астраном Абу Абдалах Мухамед Бэн Муса аль - Харэзм жыў і працаваў у Багдадзе. Вучоны працаваў у Доме мудрасці, дзе былі бібліятэка і абсерваторыя, тут працавалі амаль усе буйныя арабскія вучоныя. Звестак аб жыцці і дзейнасці Мухамеда аль - Харэзмі вельмі мала. Захаваліся толькі дзве яго працы - па алгебры і па арыфметыцы. У апошняй з гэтых кніг дадзены чатыры правілы арыфметычных дзеянняў, амаль такія ж, што выкарыстоўваюцца ў наш час. У сваёй «Кнізе аб індыйскім лічэнні» вучоны апісаў спосаб, прыдуманы ў Старажытнай Індыі, а пазней названы «Метадам рашоткі». Гэты метад нават прасцей, чым ужывальны сёння.
Прыклад: памножым 25 і 63. Пабудуем табліцу, у якой дзве клеткі па даўжыні і дзве па шырыні запішам адзін лік па даўжыні, другі па шырыні. У клетках запішам вынік множання дадзеных лічбаў, на іх скрыжаванні аддзелім дзясяткі і адзінкі дыяганаллю. Атрыманыя лічбы складзём па дыяганалі, і атрыманы вынік можна прачытаць па стрэлцы (уніз і направа).
2
|
5
| ||
1
|
1
2
|
3
0
|
6
|
5
|
0
6
|
1
5
|
3
|
7
|
5
|
Гэтым спосабам можна перамнажаць любыя мнагазначныя лікі. Разгледзім яшчэ адзін прыклад: перамнажым 987 і 12:
Малюем прамавугольнік 3 на 2 (па колькасці дзесятковых знакаў у кожнага множніка);
затым квадратныя клеткі дзелім па дыяганалі;
уверсе табліцы запісваем лік 987;
злева табліцы лік 12;
цяпер у кожны квадрацік ўпішам здабытак лічбаў, размешчаных у адным радку і ў адным слупку з гэтым квадрацікам, дзесяткі ніжэй дыяганалі, адзінкі вышэй;
пасля запаўнення ўсіх трохвугольнікаў, лічбы ў іх складаюць уздоўж кожнай дыяганалі справа і ўбок;
вынік чытаем па стрэлцы.
Гэты алгарытм множання двух натуральных лікаў быў распаўсюджаны ў сярэднія вякі на Усходзе і Італіі. Нязручнасць гэтага спосабу ў працаёмкасці падрыхтоўкі прамавугольнай табліцы, хоць сам працэс вылічэння цікавы і запаўненне табліцы нагадвае гульню.
14.Этапы развіцця вылічэння:
1. Пальцы
2. Падліковыя біркі (каменьчыкі, палачкі)
3. Першы вылічальны прыбор - Абак (800 гадоў да н.э.). Ён уяўляў сабой дошку з прарэзамі, у якой знаходзіліся падліковыя біркі. Аналагічны вылічальны прыбор – гэта шчоты, якія з'явіліся ў Расіі ў XVI- XVII стст. Прынцыповае адрозненне рускіх вылічэнняў заключаецца ў тым, што яны заснаваныя на дзесятковай сістэме злічэння.
4. Самы позні вылічальны інструмент, які адносіцца да разраду найпрасцейшых – гэта лагарыфмічная лінейка.
Механічныя падліковыя прылады (З'яўляюцца з XVII стагоддзя.)
1. У 1642г. Б.Паскаль распрацаваў прыладу, якая дазваляе складаць і аднімаць 5-ці разрадныя лікі - Паскалін. Пры даследаванні дзённікаў Да'Вінчы высветлілася, што ён задоўга да вынаходства Паскаліна адлюстраваў у сваіх эскізах 13-разрадную падліковую машыну.
2. У 1673г. Г.Лейбніц распрацаваў падліковую машыну, якая дазваляе складаць, аднімаць, перамнажаць і дзяліць лікі. Пазней на прынцыпе гэтай машыны быў распрацаваны арыфмометр.
3. З цягам часу розныя вучоныя распрацавалі новую канструкцыю - арыфмометр. Так, матэматык і вялікі вынаходнік Панфуцый Чэбышаў распрацаваў уласную арыгінальную канструкцыю. У 1874. інжынер-механік Вільгольт Однер увасобіў яшчэ адну ўдалую канструкцыю - арыфмометр, які выкарыстоўваўся досыць доўга. У Расіі, а затым у СССР шырокае ўжыванне атрымаў менавіта арыфмометр сістэмы Однера. Усе арыфмометры былі арыентаваны толькі на механізаванне, але не на аўтаматызацыю вылічэнняў.
4. У 1823г. англійскі матэматык і вынаходнік Ч. Бэбідж распрацаваў праект рознаснай машыны, якая была прызначана для вылічэння астранамічных і навігацыйных табліц. У 1833г. у Ч. Бебіджа з'явілася ідэя стварэння новага прыбора - аналітычнай машыны. Адметнай асаблівасцю яе было тое, што машына магла быць перапраграмавана пад пэўныя дзеянні. Па сутнасці аналітычная машына стала правобразам сучасных камп’ютараў, так як уключала іх асноўныя элементы: памяць, ячэйкі якой утрымлівалі б лікі, і арыфметычнаю прыладу, якая складаецца з рычагоў і шэсцярэнек. Бэбідж прадугледзеў магчымасць уводзіць у машыну інструкцыі пры дапамозе перфакарт. Аднак гэтая машына не была закончана, паколькі нізкі ўзровень тэхналогій таго часу стаў галоўнай перашкодай на шляху яе стварэння.
Электрамеханічныя падліковыя машыны (Распаўсюджаныя ў к. XIX - пачатку XX стст.)
1. Арыфмометр з электрычным прывадам.
2. 1880г. У ЗША быў распрацаваны табулятар - прылада, якая дазваляла складаць лікі. Ужываўся табулятар для перапісу насельніцтва ЗША.
3. З'яўляюцца таксама прылады, якія выконваюць лагічныя аперацыі. Напрыклад, перфаратары, якія заносілі інфармацыю на стужку.
4. У 1938г. Нямецкі інжынер K. Zuse распрацаваў лічбавы дваічны вылічальнік з механічнай памяццю 1000 біт. (Z1)
5. Пазней (у 1939г.) У Англіі з'яўляецца першы калькулятар.
15. Вясёлае лічэнне.
- Піражкі для бабулі
Чырвоная Шапачка несла бабулі 14 піражкоў: з мясам, з грыбамі і з капустай. Піражкоў з капустай – найбольшая колькасць. Прычым іх удвая больш, чым піражкоў з мясам. Колькі якіх піражкоў несла Чырвоная Шапачка?
2 .Бураціна на полі цудаў
Ліса Аліса і кот Базіліо прывялі Бураціна на пустку.
- Гэта поле цудаў: калі закапаеш залатыя манеты, то раніцай вырасце дрэва, на якім будзе ў 3 разы больш залатых манет. Потым старажытныя манеты можна зноў закапаць у зямлю і зноў вырасце дрэва з манетамі. Так можна зняць некалькі ўраджаяў. Мы можам павартаваць ноччу гэтыя манеты.
Як узнагароду за паслугу ліса і кот запатрабавалі аддаць пасля кожнага ўраджаю 9 манет. Падумаўшы крыху, Бураціна не згадзіўся з іх патрабаваннем.
Ён сказаў, што пасля двух ураджаяў у яго зусім не застанецца грошай, таму лепш ён сам павартуе.
Колькі залатых манет было ў Бураціна?
- Воўк і парасяты
Парасяты Ніф-Ніф і Нуф-Нуф беглі ад ваўка да хаткі Наф-Нафа.
Ваўку бегчы да парасят 4 мін. Парасятам бегчы да хаткі 6 мін. Воўк бяжыць удвая хутчэй, чым парасяты.
Ці паспеюць парасяты дабегчы да хаткі Наф-Нафа?
- Колькі гадоў Хатабычу?
Узрост дзядулі Хатабыча запісваецца лікам з рознымі лічбамі.
Пра гэты лік вядома наступнае:
- Калі першую і апошнюю лічбу закрэсліць, то атрымаецца двухзначны лік, які пры суме лічбаў, роўнай 13, з’яўляецца найбольшым.
- Першая лічба большая за апошнюю ў 4 разы.
Колькі гадоў дзядулю Хатабычу?
- Іван супраць Кашчэя Бессмяротнага
- Дапамагу табе, Іван, вызваліць Васілісу Прамудрую,- сказала Баба – Яга.- Да душы ты мне прыйшоўся. Вось табе меч-кладзянец,- гаворыць яму Баба-Яга.- Адным ударам ты можаш адсячы Змею або адну галаву, або дзве галавы, або адзін хвост, або два хвасты. Запамятай: адсячэш галаву – новая вырасце, адсячэш хвост – два новыя вырастуць, адсячэш два хвасты – галава вырасце, адсячэш дзве галавы – нічога не вырасце.
За колькі ўдараў Іван-Царэвіч можа адсячы Змею ўсе голавы і хвасты?
