Арыфметыка

7. Як узнікла арыфметыка?

Слова «арыфметыка» паходзіць ад грэчаскага “arithmos”, што азначае «лік». Арыфметыка - частка матэматыкі. Гэта навука аб ліках і дзеяннях над імі, яна вывучае розныя правілы арыфметычных дзеянняў, вучыць рашаць задачы, якія зводзяцца да складання, аднімання, множання і дзялення.С дапамогай натуральных лікаў, якія вывучаюцца ў курсе арыфметыкі, складаюца многія матэматычныя паняцці. Арыфметыку лічаць вельмі карыснай і зручнай «азбукай лічэння». Выконваць арыфметычныя дзеянні хутка і беспамылкова лічылася вялікім мастацтвам і з'яўлялася асноўнай задачай арыфметыкі. Арыфметыка ўзнікла ў глыбокай старажытнасці з практычных патрэб лічэння прадметаў і найпрасцейшых вымярэнняў зямельных участкаў, вядзення лічэння часу і іншых патрэб. Арыфметыка пастаянна развівалася ў сувязі з гаспадарчай дзейнасцю, рознымі грашовымі разлікамі, рашэннем задач, звязаных з вымярэннямі адлегласці, часу, плошчы, і дзякуючы патрабаванням, якія прад'яўлялі да яе іншыя навукі. Мяркуецца, што арыфметыка ўзнікла ў краінах Старажытнага Ўсходу - Вавілоне, Кітаі, Індыі і Егіпце. Крыніцай першых пэўных звестак аб стане арыфметычных ведаў у эпоху старажытных цывілізацый з'яўляюцца пісьмовыя дакументы Старажытнага Егіпту (матэматычныя папірусы), напісаныя прыблізна за 2 тыс. гадоў да н. э. Гэта - зборнікі задач з указаннямі іх рашэнняў, правіл дзеянняў над цэлымі лікамі і дробамі, з дапаможнымі табліцамі без якіх бы там ні было тлумачэнняў тэарэтычнага характару. 

У Старажытным Вавілоне ў III-II тыс. г. да н. э. таксама быў даволі высокі ўзровень арыфметычнай культуры, пра што дазваляюць судзіць клінапісныя матэматычныя тэксты.У пачатку развіцця грамадства, калі чалавеку не патрабаваліся вялікія лікі, людзі для лічэння абыходзіліся пальцамі адной рукі, потым двух, потым пальцамі рук і ног. Пазней усё часцей узнікала неабходнасць пералічваць такую колькасць прадметаў, на якую пальцаў не хапала. Паступова былі прыдуманыя новыя спосабы вылічэння. У Афрыцы некаторыя плямёны да гэтага часу лічаць на каменьчыках і арэхах. Даходзячы да 5, складаюць іх асобна ў маленькую купку. Жыхары астравоў Ціхага акіяна вядуць лічэнне на какосавых хвосціках, адкладаючы маленькі хвосцік кожны раз, як яны даходзяць да 10, і вялікі, - калі даходзяць да 100.

Прайшлі многія тысячы гадоў. Развіліся абмен і гандаль, якія запатрабавалі ад людзей новыя навыкі ў лічэнні, у дзеяннях з лікамі. Так паступова з'явіліся арыфметычныя дзеянні. 

Складанне

Людзі навучыліся лічыць яшчэ ў каменным веку. Лікі служылі для лічэння прадметаў, дзён, крокаў і гэтак далей. На месцах стаянак першабытных людзей вучоныя знаходзілі косткі з засечкамі - так нашы далёкія продкі фіксавалі колькасць прадметаў. Але колькасць прадметаў то павялічвалася, то памяншалася, таму важна было ўмець складаць і аднімаць. Дапамагаў у гэтым нашым далёкім продкам іх першабытны камп’ютар - дзесяць пальцаў на руках. Загінаў чалавек пальцы - складваў, разгінаў - аднімаў. Сапраўды гэтак жа, як робіць гэта кожнае маленькае дзіця, калі вучыцца лічыць. Сотні гадоў людзі старажытнага свету выконвалі складанне падобным жа чынам. Працяглы час складанне лікаў людзі выконвалі толькі вусна з дапамогай якіх-небудзь прадметаў - пальцаў, каменьчыкаў, ракавінак, бабоў і інш., а пазней на спецыяльных прыборах - падліковай дошцы, абаку, лічыльніках.  Але з развіццём цывілізацыі людзям спатрэбілася вынаходзіць усе большыя і большыя лікі. Гэты працэс працягваўся на працягу многіх стагоддзяў і запатрабаваў напружанай інтэлектуальнай працы. Веды і навыкі па прыёмах лічэння назапашваліся адначасова ў многіх краінах Старажытнага свету: Вавілоне, Кітаі, Індыі, Егіпце. 

Толькі пасля таго, як была вынайдзена пазіцыйная сістэма злічэння, і лікі сталі запісваць лічбамі, падобна таму як гэта робім мы, тыбецкія мудрацы знайшлі спосаб складання лікаў у пісьмовым выглядзе. Пры вылічэннях яны запісвалі лічбы палачкай на пяску, насыпаным на спецыяльна прыгатаваную дошку. Лічбы, намаляваныя на пяску, лёгка было сціраць, а на іх месцы запісваць іншыя. Верагодна, гэтым можна растлумачыць некаторыя асаблівасці індыйскага прыёму складання лікаў. У Старажытнай Індыі было прынята запісваць складаемыя ў слупок - адно пад другім, суму ж запісвалі над складаемымі, складанне пачыналі з найвышэйшага разраду, г. зн. злева направа. Калі запісаная ў суме лічба пры складанні наступнага ніжэйшага разраду змянялася, то раней запісаную лічбу сціралі, а на яе месца ўпісвалі новую.

Індыйскі прыём складання запазычылі матэматыкі Сярэдняга і Блізкага Усходу, а ад іх у пачатку 9 стагоддзя ён перавандраваў у Еўропу. У пачатку 15 стагоддзя дзеянне складання сталі пазначаць пачатковай літарай слова плюс (у лацінскім алфавіце - Р), якое азначала «скласці». Да канца таго ж стагоддзя асобныя матэматыкі сталі пазначаць складанне знакам +, які неўзабаве атрымаў ўсеагульнае прызнанне. Гэта хуткае прызнанне новага знака адбылося, мабыць, таму, што яго напісанне нагадвае складанне двух палачак. 

Адніманне

У Старажытнай Індыі адніманне лікаў выконвалі спосабам адлічвання ад памяншаемага па адным, пакуль не атрымаецца адымаемае. Напрыклад, адымаючы ад дзевяці пяць, лічылі: «Дзевяць без аднаго - восем, дзевяць без двух - сем, дзевяць без трох - шэсць, дзевяць без чатырох - пяць, дзевяць без пяці - чатыры. Усе адзінкі, якія  адымаюцца (пяць) вычарпаныя, такім чынам, 9 - 5 = 4 ». 

Арабы не сціралі лічбы, а перакрэслівалі іх і надпісвалі новую лічбу над перакрэсленай. Гэта было вельмі нязручна. Тады арабскія матэматыкі, выкарыстоўваючы той жа прыём аднімання, сталі пачынаць дзеянне з ніжэйшых разрадаў, г.зн. працаваў новы спосаб аднімання, падобны з ​​сучасным. Для абазначэння аднімання ў III ст. да н. э. у Грэцыі выкарыстоўвалі перавернутую грэчаскую літару псі (Ф). Італьянскія матэматыкі карысталіся для абазначэння аднімання літарай М, пачатковай ў слове мінус. У 16 стагоддзі для абазначэння аднімання сталі ўжываць знак «-».  Верагодна, гэты знак перайшоў у матэматыку з гандлю. Гандляры, адліваючы для продажу віно з бочак, рысачкай мелам пазначалі лік мер прададзенага з бочкі віна. 

Множанне

Множанне - гэта асаблівы выпадак складання некалькіх аднолькавых лікаў. У далёкія часы людзі вучыліся перамнажаць ужо пры падліку прадметаў. Так, лічачы па парадку лікі  17, 18, 19, 20, яны павінны былі прадстаўляць 20 не толькі як 10 + 10, але і як два дзесяткі, гэта значыць 2 • 10; 30 - як тры дзесяткі, тры разы паўтарыць складаемым дзясятак і гэтак далей.  Множыць людзі пачалі значна пазней, чым складаць. Егіпцяне выконвалі множанне пасродкам паўторнага складання або паслядоўнага падваення. У Вавілоне пры перамнажэнні лікаў карысталіся адмысловымі табліцамі множання - «продкамі» сучасных. У Старажытнай Індыі ўжывалі спосаб множання лікаў, вельмі блізкі да сучаснага. Індыйцы праводзілі множанне лікаў пачынаючы з вышэйшых разрадаў. Пры гэтым яны сціралі тыя лічбы, якія пры наступных дзеяннях трэба было замяняць, так як да іх дадавалі лік, цяпер запамінаемы намі пры множанні. Такім чынам, матэматыкі Індыі адразу запісвалі вынік, выконваючы прамежкавыя вылічэнні на пяску або ў розуме. Індыйскі прыём множання перайшоў да арабаў. Але арабы не сціралі лічбы, а перакрэслівалі іх і надпісвалі новую лічбу над перакрэсленай. У Еўропе працяглы час дзеянне  называлі сума множання. Назва «множнік» згадваецца ў працах у 6 стагоддзі, а «множанне» - у 13 стагоддзі. У 17 стагоддзі некаторыя з матэматыкаў сталі пазначаць множанне касым крыжыкам - х, а іншыя ўжывалі для гэтага кропку. У 16-17 стагоддзях для абазначэння дзеянняў множання ўжывалі розныя сімвалы - аднастайнасці ў іх ужыванні не было. Толькі ў канцы 18 стагоддзя большасць матэматыкаў сталі ўжываць у якасці знака множання кропку, але дапускалі і ўжыванне касога крыжа. Знакі множання (•, х) і знак роўнасці (=) сталі агульнапрызнанымі дзякуючы аўтарытэту знакамітага нямецкага матэматыка Готфрыда Вільгельма Лейбніца (1646- 1716). 

Дзяленне

Два любыя натуральныя лікі заўсёды можна скласці, а таксама памножыць. Адніманне з натуральнага ліку можна выканаць толькі тады, калі адымаецца менш памяншаемага. Дзяленне ж без астатку выконваецца толькі для некаторых лікаў, прычым даведацца, ці дзеліцца адзін лік на другі, складана. Акрамя таго, ёсць лікі, якія навогул нельга падзяліць ні на які лік, акрамя адзінкі. Дзяліць на нуль нельга. Гэтыя асаблівасці дзялення значна ўскладнілі шлях да ўсведамлення прыёмаў дзялення. 

У Старажытным Егіпце дзяленне лікаў выконвалі спосабам падваення і медыяцыі, г.зн. дзяленнем на два з наступным складаннем адабраных лікаў. Матэматыкі Індыі вынайшлі спосаб «дзяленне ўверх». Яны запісвалі дзельнік пад  дзялімым, а ўсе прамежкавыя вылічэнні - уверсе над дзельнікам. Прычым тыя лічбы, якія пры прамежкавых вылічэннях падвяргаліся змене, індыйцы сціралі і на іх месца пісалі новыя. 

Запазычыўшы гэты спосаб, арабы ў прамежкавых вылічэннях сталі лічбы перакрэсліваць і надпісваць над імі іншыя. Такое новаўвядзенне значна ўскладніла «дзяленне ўверх». Спосаб дзялення, блізкі да сучаснага, упершыню з'явіўся ў Італіі ў 15 стагоддзі. На працягу тысячагоддзяў дзеянне дзялення не пазначалі якім-небудзь знакам - яго проста называлі і запісвалі словам. Індыйскія матэматыкі першымі сталі пазначаць дзяленне пачатковай літарай з назвы гэтага дзеяння. Арабы ўвялі для абазначэння дзялення рысу. Рысу для абазначэння дзялення ад арабаў пераняў ў 13 стагоддзі італьянскі матэматык Фібаначы.  Знак двукроп'я (:) для абазначэння дзялення увайшоў ва ўжытак у канцы 17 стагоддзя. Знак роўнасці (=) упершыню ўведзены англійскім настаўнікам тэматыкі Р. Рыкардам у 16 стагоддзі. Ён тлумачыў: «Ніякія два прадметы не могуць у большай ступені быць роўныя паміж сабой, як дзве паралельныя лініі». Але яшчэ ў егіпецкіх папірусах сустракаецца знак, які абазначаў роўнасць двух лікаў, хоць гэты знак зусім не падобны на знак =.

8.З гісторыі ўзнікнення нуля.  

У Старажытным Рыме для здзяйснення вылічэнняў  выкарыстоўвалі прыстасаванне - абак. Абак ў розных абліччах аказаўся вельмі жывучым вынаходствам. Абак і вылічэнне былі падзеленыя на некалькі пазіцыйных радоў. Так, каб пазначыць на шчотах лік пяцьсот два, на першым дроце (разрад адзінак) адкідвалі ў бок дзве косткі, на трэцяй (разрад сотняў) - пяць, а на другі (разрад дзясяткаў) нічога не адкідвалі, так як дзясяткаў у ліку не было. Вось гэты прабел, гэта пустое месца і стала першым правобразам нуля. 

Кажучы вобразна, нуль як лік і лічба з'явіўся практычна з нічога. Адбылося гэта, вядома, не адразу. Адна справа - пустое месца, іншая справа - знак, і ўжо зусім трэцяе - лік. Першыя крокі ад прабелу да знака зрабілі вавіланяне. У Вавілоне навукоўцы вынайшлі лік нуль у 4 стагоддзі да нашай эры. Але іх вынаходства не атрымала шырокага распаўсюджвання, таму што іх матэматычны апарат грунтаваўся не на дзесятковай, а на 60-рычнай сістэме злічэння. Іншымі словамі, у іх матэматыцы было не 10, а 60 лічбаў. Сутнасць пазіцыйнай сістэмы заключалася ў тым, што кожны новы разрад запісваўся аднымі і тымі ж знакамі, толькі размяшчалі іх лявей папярэдняга разраду. У вавіланян знакаў было два: вертыкальным клінком пазначалі адзінку, а гарызантальным - дзясятку. Такім чынам, запісвалі лічбы да 59, а лік 60 зноў пазначалі вертыкальным клінком. Калі які-небудзь разрад адсутнічаў, вавіланяне ставілі прабел, а ў V ст. да н.э. сталі пазначаць прапушчаны разрад двума клінкамі. 

Такім чынам, мы бачым, што першапачаткова нуль не выкарыстоўвалі як самастойны лік, але толькі як нейкі пунктуацыйны знак, які дапамагае правільна распазнаць лік. 

Незалежна ад вавіланян нуль вынайшлі плямёны Майя, якія насяляюць Цэнтральную Амерыку. Нуль у Майя быў не лікам, а толькі значком прабелу і не ўдзельнічаў у матэматычных аперацыях. Вельмі цікава было даведацца, што Майя карысталіся лічбамі двух тыпаў: просты засноўваўся на кропках і рысачках, а больш складаны - на гліфах, гратэскавых асобах. 

Радзімай нуля па праве лічаць Індыю.  Геніяльным вынікам індыйскай матэматыкі стаў запіс любых лікаў з дапамогай дзесяці лічбаў, якімі мы карыстаемся цяпер і якія не зусім справядліва называем арабскімі (cамі арабы, дарэчы, заўсёды называлі іх індыйскімі). 

Пазней за ўсіх знакам ўзнагародзілі злашчасны нуль. Само паняцце нуля (індыйцы называлі яго «сунья / шунья» - пустое), відаць, паўстала ў сярэдзіне V стагоддзя. Першы ж малюнак нуля было знойдзены ў ліку 270, запісаны на сцяне г.Гваліора (876 г.). Вельмі важна, што нуль тут упершыню стаіць у канцы ліка і вонкава нагадвае знаёмую нам дзірку ад абаранка (хіба што крыху менш за іншых лічбаў). Вось так на працягу стагоддзяў змянялася напісанне арабскіх лічбаў. 

Пасля найвялікшага адкрыцця лічбы 0 для абазначэння адсутнай велічыні, стала магчымым узнікненне дзесятковай сістэмы!

Чаму на нуль дзяліць нельга? 

Дзяліць на нуль нельга!» - Большасць школьнікаў завучваюць гэты лозунг на памяць, не задаючыся пытаннем: «Чаму?» А на самай справе вельмі цікава і важна ведаць, чаму ж нельга ?! 

Уся справа ў тым, што чатыры дзеянні арыфметыкі - складанне, адніманне, множанне і дзяленне - на самай справе нераўнапраўных. Матэматыкі прызнаюць паўнавартаснымі толькі два з іх - складанне і множанне. Гэтыя аперацыі і іх уласцівасці ўключаюцца ў само азначэнне паняцця ліку. Усе астатнія дзеянні будуюцца тым ці іншым чынам з гэтых двух. 

Разгледзім, напрыклад, адніманне.  Што значыць 5 - 3? Школьнік адкажа на гэта проста: трэба ўзяць пяць прадметаў, адняць (прыбраць) тры з іх і паглядзець, колькі застанецца. Але вось матэматыкі глядзяць на гэтую задачу зусім па-іншаму: няма ніякага аднімання, ёсць толькі складанне. Таму запіс 5 - 3 азначае такі лік х, які пры складанні з лікам 3, дасць лік 5. Гэта значыць 5 - 3 = х, калі x + 3 = 5. У гэтым ураўненні няма ніякага аднімання. Ёсць толькі задача - знайсці падыходзячы лік. 

Аналагічна гэтак жа ідзе справа з множаннем і дзяленнем. Запіс 8: 4 можна разумець як вынік падзелу васьмі прадметаў на чатыры роўныя стосы. Але ў сапраўднасці дзель пры дзяленні ліку 8 ​​на лік 4 - гэта такі лік х, што здабытак x на 4 роўна 8. Гэта значыць 8: 4 = х, калі х • 4 = 8.

Вось тут  і становіцца зразумелым, чаму нельга (а дакладней немагчыма) дзяліць на нуль. Запіс 5: 0 зводзіцца да задання знайсці такі лік, які пры множанні на 0 дасць 5, г.зн. x • 0 = 5. Але мы ведаем, што пры множанні на нуль заўсёды атрымліваецца 0. Гэта неад'емная ўласцівасць нуля, строга кажучы, частка яго азначэння. Такога ліку, якое пры множанні на 0 дасць нешта акрамя нуля, проста не існуе. Гэта значыць наша задача не мае рашэння. (Так, такое бывае, не ва ўсякай задачы ёсць рашэнне.) А значыць, запісу 5: 0 не адпавядае ніякі канкрэтны лік. Такім чынам, гэты запіс нічога не азначае, бо не мае сэнсу. Бессэнсоўнасць у гэтым запісе коратка фармулююць, кажучы, што на нуль дзяліць нельга. 

А ці можна нуль дзяліць на нуль? На самай справе, ураўненне 0 • x = 0 лёгка рашаецца. Напрыклад, можна ўзяць x = 0, і тады атрымліваем 0 • 0 = 0. Выходзіць, 0: 0 = 0? Але не будзем спяшацца. Паспрабуем ўзяць x = 1. Атрымаем 0 • 1 = 0. Правільна? Значыць, 0: 0 = 1? Але ж так можна ўзяць любы лік і атрымаць 0: 0 = 5, 0: 0 = 127 і т. д. Але калі падыходзіць любы лік, то ў нас няма ніякіх падстаў спыніць свой выбар на нейкім адным з іх. Гэта значыць, мы не можам сказаць, якому ліку адпавядае запіс 0: 0. А раз так, то мы вымушаны прызнаць, што гэты запіс таксама не мае сэнсу. Выходзіць, што на нуль нельга дзяліць нават нуль.  Вось такая асаблівасць ёсць у аперацыі дзялення. А дакладней - у аперацыі множання і звязанага з ёй ліка нуль.

9.Цікавыя арыфметычныя практыкаванні

1. Які цэлы лік дзеліцца (без астатку) на любы цэлы лік, адрозны ад 0? 
2. Колькі існуе ўсяго трохзначных лікаў, у запiс якіх уваходзіць адзін раз лічба 5? 
3. Колькі ёсць двухзначных лікаў, у запісе кожнага з якіх сустракаецца хоць бы раз лічба 7? 
4. Колькі ёсць трохзначных лікаў, у запісе кожнага з якіх сустракаецца хаця б адна лічба 2? 
5. Колькі існуе двухзначных лікаў, у якіх:

а) сярод лічбаў ёсць хоць адна пяцёрка; 

б) лічба дзясяткаў менш лічбы адзінак; 

в) лічба дзясяткаў болей лічбы адзінак? 

6. Колькі чатырохзначных лікаў з рознымі лічбамі можна скласці з лічбаў 1, 2, 3, 4, у якіх лічбы 2 і 4 не стаяць побач? 
7. Колькі сярод цэлых лікаў ад 10 да 1000 такіх, што:

а) у іх запісе сустракаюцца роўна тры аднолькавыя лічбы; 

б) у якіх кожная наступная лічба большая за папярэднюю; 

в) у якіх сума лічбаў роўная 9? 

8. Колькі сярод цэлых лікаў ад 100 да 10 000 такіх, у запісе якіх сустракаюцца роўна 3 аднолькавыя лічбы? 
9. Колькі існуе розных двухзначных лікаў, усе лічбы якіх няцотныя? 
10. Якой лічбай заканчаецца здабытак усіх натуральных лікаў ад 1 да 81? 
11. Колькі нулёў стаіць у канцы здабытку ўсіх лікаў ад 10 да 25? 
12. Колькімі нулямі заканчваецца здабытак ад 1 да 100: 1 2 3 4 ... 100? 
13. У стозначным ліку 12345678901234567890 ... 1234567890 выкрэслілі ўсе лічбы на няцотных месцах. У атрыманым пяцідзесяцізначным ліку зноў выкрэслілі ўсе лічбы на няцотных месцах. Такое выкрэсліванне працягвалася да таго часу, пакуль не засталася адна лічба. Якая яна? 
14. Сума лічбаў двухзначнага ліку - найбольшая з адназначных лікаў, а лік дзясяткаў на 2 менш гэтай сумы. Які гэта лік? 
15. Сума двух лікаў роўная 51. Меншы можна атрымаць, закрэсліўшы ў большым адну лічбу.Знайдзіце гэтыя лікі. 
16. Знайдзіце два такія лікі, што іх сума ўтрая больш іх рознасці і ўдвая менш іх здабытку. 
17. Каб пранумараваць старонкі некаторай кнігі, спатрэбілася 1164 лічбы. Колькі ў гэтай кнізе старонак? 
18. У падручніку 296 старонак. Колькі лічбаў трэба запісаць, каб іх пранумараваць? Колькі разоў будзе выкарыстаная кожная з лічбаў? 
19. Прадстаўце лік 1000 васьмю аднолькавымі лічбамі і знакамі дзеянняў. 
20. Прадстаўце лік 24:

а) трыма васьмёркамі; 

б) трыма тройкамі; 

в) трыма двойкамі. 

21. Прадстаўце лік 30:

а) трыма пяцёркамі;

 б) трыма шасцёркамі; 

в) трыма тройкамі.

22. Запішыце лік 31, карыстаючыся знакамі дзеянняў і:

1) пяццю тройкамі; 

2) шасцю тройкамі; 

3) пяццю пяцёркамі. 

23. Запішыце лік 100, карыстаючыся знакамі дзеянняў і:

1) пяццю адзінкамі; 

2) пяццю тройкамі; 

3) пяццю пяцёркамі; 

4) шасцю аднолькавымі лічбамі; 

5) дзевяццю рознымі значнымі лічбамі. 

24. Запішыце лік, які з'яўляецца сумай 13 тысяч, 12 сотняў і 11 адзінак.