Моя математика: Гульні, гаваломкі, фокусы

$\rightarrow$

$\rightarrow$

$\rightarrow$

$\swarrow$

$\downarrow$

$\downarrow$

$\downarrow$

$\searrow$

20. Арыфметычныя заканамернасці

Існуе пэўны набор найпрасцейшых арыфметычных правіл і заканамернасцей, якія не толькі трэба ведаць для вуснага лічэння, але і ўвесь час трымаць у галаве, каб у патрэбны момант аператыўна прымяніць самы эфектыўны алгарытм.

Для гэтага неабходна давесці іх выкарыстанне да аўтаматызму, замацаваць у машынальнай памяці, каб ад рашэння самых простых прыкладаў паспяхова перайсці да больш складаных арыфметычных дзеянняў.

Вось асноўныя алгарытмы, якія трэба ведаць, памятаць і прымяняць імгненна, аўтаматычна:

1.Адніманне 7, 8, 9. Каб адняць 9 ад любога ліку, трэба адняць ад яго 10 і дадаць 1. Каб адняць 8 ад любога ліку, трэба адняць ад яго 10 і дадаць 2. Каб адняць 7 ад любога ліку, трэба адняць ад яго 10 і дадаць 3. Калі звычайна вы лічыце па-іншаму, то для атрымання лепшага выніку вам трэба прывыкнуць да гэтага новага спосабу.

2.Множанне на 9. Хутка памножыць любы лік на 9 можна наступным чынам: спачатку памножце гэтую лічбу на 10 (проста дадайце нуль у канцы), а затым адніміце з выніку сам лік. Напрыклад: 89 * 9 = 890-89 = 801. Гэтую аперацыю неабходна давесці да аўтаматызму.

3. Множанне на 2. Для вуснага лічэння вельмі важна ўмець хутка памнажаць любы лік на 2. Для множання на 2 някруглых лікаў спрабуйце акругляць іх да бліжэйшых зручнейшых. Так 139 * 2 прасцей лічыць, калі спачатку памножыць 140 на 2 (140 * 2 = 280), а потым адняць 1 * 2 = 2 (менавіта 1 трэба дадаць да 139, каб атрымаць 140). Разам: 140 * 2-1 * 2 = 280-2 = 278.

4.Дзяленне на 2. Для вуснага лічэння таксама важна ўмець хутка дзяліць любы лік на 2. Нягледзячы на тое, што многім множанне і дзяленне на 2 даецца дастаткова проста, у складаных выпадках гэтак жа спрабуйце акругляць лікі. Напрыклад, каб падзяліць 198 на 2, трэба спачатку падзяліць 200 (гэта 198 + 2) на 2 і адняць 1 (1 мы атрымалі, падзяліўшы дададзеныя 2 на 2). Разам: 198/2 = 200 / 2-2 / 2 = 100-1 = 99.

5.Дзяленне і множанне на 4 і 8. Дзяленне (або множанне) на 4 і на 8 з'яўляюцца двухразовым або трохразовым дзяленнем (або множаннем) на 2. Выконваць гэтыя аперацыі зручна паслядоўна. Напрыклад, 46 * 4 = 46 * 2 * 2 = 92 * 2 = 184.

6. Множанне на 5. Множанне на 5 вельмі проста. Множанне на 5, і дзяленне на 2 - гэта практычна адно і тое ж. Так 88 * 5 = 440, а 88/2 = 44, таму заўсёды множце на 5, падзяліўшы лік на 2 і памножыўшы яго на 10.

7. Множанне на 25. Множанне на 25 адпавядае дзяленню на 4 (з наступным дамнажэннем на 100) . Так 120 * 25 = 120/4 * 100 = 30 * 100 = 3000.

8. Множанне на адназначныя лікі. Каб хутка лічыць у розуме, карысна ўмець перамнажаць двухзначныя і трохзначныя лікі на адназначныя. Для гэтага трэба перамнажаць двух- або трохзначныя лікі паразрадна. Напрыклад, памножым 83 * 7. Для гэтага спачатку памножым 8 на 7 (і дапішам нуль, так як 8 - разрад дзясяткаў), і дададзім да гэтага ліку здабытак лікаў 3 і 7. Такім чынам, 83 * 7 = 80 * 7 + 3 * 7 = 560 + 21 = 581 . Возьмем больш складаны прыклад: 236 * 3. Такім чынам, множым складаны лік на 3 паразрадна: 200 * 3 + 30 * 3 + 6 * 3 = 600 + 90 + 18 = 708.

9.Вызначэнне дыяпазонаў. Каб не заблытацца ў алгарытмах і памылкова не выдаць зусім няправільны адказ, важна ўмець будаваць прыкладны дыяпазон адказаў. Так множанне адназначных лікаў адзін на адзін не можа даць вынік большы за 90 (9 * 9 = 81), двухзначных - не больш за 10 000 (99 * 99 = 9801), трохзначных не больш - 1 000 000 (999 * 999 = 998001).

10.Дзяленне 1000 на 2, 4, 8, 16. І нарэшце, карысна ведаць дзяленне лікаў, кратных 10 на лікі, кратныя двум: 1000 = 2 * 500 = 4 * 250 = 8 * 125 = 16 * 62,5.

21. Матэматычныя рэбусы

Матэматычнымі рэбусамі называюць заданні на аднаўленне запісаў вылічэнняў. Умова матэматычнага рэбуса ўтрымлівае альбо цалкам зашыфраваны запіс (лічбы заменены літарамі), альбо толькі частку запісу (сцёртыя лічбы заменены кропкамі). Запісы аднаўляюцца на падставе лагічных разваг. Пры гэтым нельга абмяжоўвацца адшуканнем толькі аднаго рашэння. Выпрабаванне трэба даводзіць да канца, каб пераканацца, што няма іншых рашэнняў, або знайсці ўсе рашэнні. Ёсць матэматычныя рэбусы, якія маюць некалькі рашэнняў.

Прыклады рашэння

Аднавіце пашкоджаныя запісы арыфметычных дзеянняў

Варыянт А

**
+
*
-----
**8

Разглядаючы дадзеную разнавіднасць рэбусаў, трэба звярнуць сваю ўвагу на тое, што сума двухзначнага і адназначнага лікаў з'яўляецца трохзначным лікам, таму першая лічба ў суме будзе 1. А лік 1 * 8 можа атрымацца толькі ў суме найбольшага двухзначнага ліку і найбольшага адназначнага. Аналагічна ў другім выпадку, сума роўная 198. А так як складаемыя - двухзначныя лікі і самы вялікі двухзначны лік будзе 99, то рашэннем будзе 99 + 99 = 198.

Варыянт А

ДРАМА
+
ДРАМА
---------
ТЭАТР

Рашэнне варыянт А. Відавочна, Д <4 . У разрадзе тысяч маем А + А = А, значыць, А = 0 (без пераходу) або А = 9 (з пераходам). Значэнне А = 0 не падыходзіць, так як у разрадзе адзінак А + А = Р (атрымліваем А = Р = 0). Значыць, А = 9, Р = 8, Е = 7. Тады 2М + 1 = 10 + Т, Т <9, значыць, М = 5 або 6 (так як атрымліваецца пераход), а значэння 7 і 8 ужо занятыя літарамі Е і Р. Пры М = 6 атрымліваецца рашэнне:

18969
+
18969
---------
37938

Варыянт В. Гэты прыклад з'яўляецца найбольш цяжкім. Для яго рашэння лепш перайсці ад дзялення да множання: 5 * АЙ = ЧАЙ, значыць Ч * 100 + АЙ = АЙ * 5 і тады Ч * 25 = АЙ. Так як АЙ - двухзначны, то Ч = 1,2,3. Для кожнага Ч знаходзім рашэнне: 125, 250, 375. Такім чынам, атрымліваем тры рашэнні:

125 : 25 = 5

250 : 50 = 5

375 : 75 = 5

22. Аднаўленне арыфметычных знакаў

Сто з сямі лічбаў

Расстаўце знакі «плюс» паміж лікамі 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, каб у суме атрымалася 100. Магчымыя два рашэнні.

Розныя дзеянні, адзін вынік .

Калі паміж двума двойкамі знак складання замяніць знакам множання, то вынік не зменіцца: 2 + 2 = 2 × 2.

Няцяжка падабраць і 3 лікі, якія валодаюць той жа уласцівасцю: 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Знайдзіце 4 адназначныя лікі, якія, складзеныя або памножаныя адзін на аднаго, даюць адзін і той жа вынік. Пяць такіх лікаў.

Аўтобусны білет. У аўтобусе вам трапіўся білет з нумарам 524127. Паспрабуйце, не змяняючы парадку лічбаў, расставіць паміж імі знакі матэматычных дзеянняў так, каб у выніку атрымалася 100.

Аднаўленне запісу У памятнай кнізе знойдзены запіс: За продаж ... кавалкаў сукна па 49 руб. 36 кап. кожны кавалак атрымана ... 7 руб. 28 кап. Гэты запіс апынуўся заліты ў некаторых месцах чарніламі так, што нельга разабраць ні колькасці прададзеных кавалкаў, ні першых трох лічбаў атрыманай сумы. Пытанне, ці можна па захаваўшыхся дадзеных даведацца колькасць прададзеных кавалкаў і ўсю суму?

2 і 3 Які знак трэба паставіць паміж напісанымі побач лічбамі 2 і 3, каб атрымаўся лік большы двух, але менш трох?

1000 шасцю пяцёркамі. Выкарыстоўваючы толькі знакі матэматычных дзеянняў і дужкі, прадстаўце тысячу шасцю пяцёркамі.

Чатыры дзеянні арыфметыкі

Перад вамі 7 радкоў паслядоўна размешчаных лічбаў:

1 2 3 = 1

1 2 3 4 = 1

1 2 3 4 5 = 1

1 2 3 4 5 6 = 1

1 2 3 4 5 6 7 = 1

1 2 3 4 5 6 7 8 = 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1

Не змяняючы парадку размяшчэння лічбаў, пастаўце паміж імі знакі арыфметычных дзеянняў і дужкі з такім разлікам, каб у выніку гэтых дзеянняў у кожным радзе атрымалася б па 1. Пры неабходнасці дзве побач стаячыя лічбы можна лічыць двухзначным лікам.

Сто пяццю аднолькавымі лічбамі

Пры дапамозе любых арыфметычных дзеянняў складзіце лік 100 з пяці адзінак, а таксама з пяці пяцёрак (з пяці пяцёрак 100 можна скласці двума спосабамі).

Нуль трыма пяцёркамі Як запісаць нуль трыма пяцёркамі? Дазваляецца выкарыстоўваць любыя знакі матэматычных дзеянняў.

Пяць трыма пяцёркамі Як запісаць пяць трыма пяцёркамі? Дазваляецца выкарыстоўваць любыя знакі матэматычных дзеянняў.

Чацвёрка трыма пяцёркамі Як запісаць чацвёрку трыма пяцёркамі? Дазваляецца выкарыстоўваць любыя знакі матэматычных дзеянняў.

Двойка трыма пяцёркамі Як запісаць двойку трыма пяцёркамі?Дазваляецца выкарыстоўваць любыя знакі матэматычных дзеянняў.

Адзінка трыма пяцёркамі Карыстаючыся трыма пяцёркамі і якімі заўгодна знакамі матэматычных дзеянняў, напісаць выраз, роўны адзінцы.

Знайдзіце як мінімум тры рашэнні.

Аднолькавымі лічбамі Карыстаючыся толькі складаннем, запішыце лік 28 пры дапамозе пяці двоек, а лік 1000 пры дапамозе васьмі васьмёрак.

23.Гісторыя з'яўлення магічных квадратаў

МАГІЧНЫ КВАДРАТ, квадратная табліца з цэлых лікаў, у якой сумы лікаў уздоўж любога радка, любога слупка і любой з двух галоўных дыяганаляў роўныя аднаму і таму ж ліку.

Пры археалагічных раскопках у Кітаі і Індыі былі знойдзеныя квадратныя амулеты. Квадрат падзелены на дзевяць квадрацікаў, у кожным з якіх напісана па адным ліку ад 1 да 9. Адметна, што сумы лікаў у кожным радку, у кожным слупку і кожнай з двух дыяганаляў былі роўныя аднаму і таму ж ліку 15. Такія квадраты сталі называць магічнымі.

Першыя згадкі пра магічныя квадраты былі ў старажытных кітайцаў. Згодна легендзе, існуе паданне, паводле якога кітайскі імператар Ію, які жыў прыкладна чатыры тысячы гадоў назад, убачыў на беразе ракі Хуанхэ (Жоўтая рака) святую чарапаху з узорам з чорных і белых кружкоў на панцыры. Кемлівы імператар адразу зразумеў сэнс гэтых малюнкаў. Замяніўшы кожную фігуру лікам адпаведным колькасці кружкоў на панцыры, ён атрымаў магічны квадрат 3 * 3.

Черепаха (магический квадрат на панцыре)

Сімвал, намаляваны на панцыры чарапахі, кітайцы назвалі «ло-шу» і лічылі магічным - ён выкарыстоўваўся пры праклёнах. Пасля адкрыцця гэтых знакаў, у Кітаі зарадзілася навука правільнага планавання - фэн-шуй.

Традыцыйна храмы і гарады будаваліся на квадратным участку зямлі, падзеленым на дзевяць аднолькавых частак. Падобная планіроўка памяшканняў, участкаў звязана з магічным квадратам «ло шу». Таму квадратныя табліцы лікаў, якія валодаюць такой дзіўнай уласцівасцю, з тых часоў і называюць магічнымі квадратамі.

У старажытнасці магічныя квадраты вельмі паважалі. Кажуць, калі трэба было вырушыць на нейкую небяспечную справу, іх з магічнымі мэтамі малявалі на паперцы і з'ядалі. Тое ж прапаноўвалі ў якасці рэцэпту ад усіх хвароб.

Існавала павер'е, што выгравіраваны на срэбры магічны квадрат абараняе ад чумы. У 11 ст. аб магічных квадратах даведаліся ў Індыі, а затым у Японіі, дзе ў 16 ст. магічным квадратам было прысвечана шмат твораў.

Еўрапейцаў з дзіўнымі лікавымі квадратамі пазнаёміў нямецкі мастак Масхапулас.

Першым квадратам, прыдуманым еўрапейцамі, лічыцца квадрат А.Дзюрэра, намаляваны на яго знакамітай гравюры Меланхолія 1.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Albrecht_D%C3%BCrer_-_Melencolia_I_%28detail%29.jpg/220px-Albrecht_D%C3%BCrer_-_Melencolia_I_%28detail%29.jpg

Гэта квадрат 4-га парадку. Дата стварэння гравюры (1514) паказаная лікамі, якія стаяць у двух цэнтральных клетках ніжняга радка.

Магічным квадратам прыпісвалі розныя містычныя ўласцівасці. З глыбокай старажытнасці захавалася вучэнне пра тое, што людзі рознага тэмпераменту знаходзяцца пад уплывам розных планет. У сангвініка заступнікі планеты Юпітэр і Венера, халерыкі знаходзяцца пад уплывам Марса, флегматыкі накіроўваюцца Месяцам, а меланхолікі - Сатурнам. У 16 ст. Карнэлій Генрых Агрыпа пабудаваў квадраты якія былі звязаны з астралогіяй 7 планет.

У 19 і 20 ст. цікавасць да магічных квадратаў успыхнула з новай сілай. Іх сталі даследаваць з дапамогай метадаў вышэйшай алгебры.

Поўнага апісання ўсіх магчымых магічных квадратаў не атрымана і да гэтага часу.

Магічных квадратаў 2х2 не існуе. Існуе адзіны магічны квадрат 3х3, бо астатнія магічныя квадраты 3х3 атрымліваюцца з яго або паваротам вакол цэнтра, альбо адлюстраваннем адносна адной з яго восяў сіметрыі.

24. Гісторыя ўзнікнення матэматычных фокусаў

Матэматычныя гульні і фокусы з'явіліся разам з узнікненнем матэматыкі, як навукі. Першую згадку пра матэматычныя фокусы мы сустракаем у кнізе рускага матэматыка Лявонція Піліпавіча Магніцкага, апублікаванай ў 1703 годзе. Адзін раздзел кнігі ўтрымваў матэматычныя гульні і фокусы. Сам Магніцкі піша, што змясціў гэтую главу ў кнігу для "уцехі і асабліва для выдасканаленага розуму навучэнцаў". Усе мы ведаем вялікага рускага паэта М. Ю. Лермантава, але не кожнаму вядома, што ён быў вялікім аматарам матэматыкі, асабліва яго прыцягвалі матэматычныя фокусы, якіх ён ведаў вялікае мноства, прычым некаторыя з іх ён прыдумваў сам.

Матэматычныя фокусы цікавыя менавіта тым, што кожны фокус заснаваны на матэматычных законах. Сэнс іх складаецца ў адгадванні лікаў, задуманых гледачамі, або ў якіх-небудзь аперацыях над імі. Галоўнае - гэта тое, што штукар ведае сакрэт: асаблівыя ўласцівасці лікаў. Мільёны людзей ва ўсіх частках свету захапляюцца матэматычнымі фокусамі. І гэта не дзіўна. "Гімнастыка розуму" карысная ў любым узросце. А фокусы трэніруюць памяць, абвастраюць кемлівасць, выпрацоўваюць настойлівасць, здольнасць лагічна думаць, аналізаваць і супастаўляць. Яшчэ ў Старажытнай Эладзе без гульняў не прадстаўлялася гарманічнае развіццё асобы. І гульні старажытных былі не толькі спартыўнымі. Нашы продкі ведалі шахматы і шашкі, рэбусы і загадкі. Такіх гульняў ва ўсе часы не цураліся навукоўцы, мысліцелі, педагогі. Яны і стваралі іх.

Фокус «Белая пешка» Рыхтуючыся да гульні ў шахматы, партнёр таемна ад вас заціскае ў адзін кулак белую пешку, а ў другой - чорную. Вам хочацца выбраць белую, і вы, пры дапамозе нескладанага фокусу бярэцеся адгадаць, у якім яна кулаку: правам ці левым. Вы кажаце партнёру: "Ацэнім чорную пешку лікам 1, а белую лікам 2. Лічбавае значэнне пешкі, заціснутай у правай руцэ, памнож на які хочаш цотны лік, а лікавае значэнне другой пешкі памнож на любы няцотны лік. Складзі вынікі і скажы апошнюю лічбу сумы. Цяпер я скажу беспамылкова, у якой руцэ белая пешка.

Сакрэт фокусу Калі абвешчаная лічба цотная, то белая пешка ў левай руцэ, а калі няцотная, то ў правай.Здабытак цотнага ліку на няцотны - цотны, няцотнага на няцотны - няцотны, сума двух цотных лікаў - цотная, а сума цотнага і няцотнага - няцотная.

Фокус «Колькі палачак у кулаку?»

Возьмем скрыначку з 20 палачкамі. Выцягніце з скрынкі некалькі палачак (не больш 10) і пакладзеце ў кішэню. Пералічыце тыя, што засталіся ў скрыначцы палачкі. Дапусцім, іх 14. Гэты лік патрэбна «выпісаць палачкамі» на стале наступным чынам: адзінка малюецца адной палачкай, пакладзенай злева, а чацвёрка - чатырма палачкамі, пакладзенымі некалькі правей. Гэтыя пяць палачак бяруцца з ліку тых, якія засталіся ў скрыначцы. Пасля гэтага палачкі, якія адлюстроўвалі лік 14, таксама кладуцца ў кішэню. Дастаньце з скрынкі яшчэ некалькі палачак і зацісніце іх у кулаку. Зараз я высыплю палачкі з скрынкі на стол, і адгадаю лік палачак, заціснутых у кулаку.

Сакрэт фокусу Колькасць палачак, схаваных у кішэню за два дзеянні заўсёды роўна 11, а што засталіся ў скрынцы - 9. Адымаем ад 9 лік палачак, рассыпаных на стале, і атрымліваем адказ.

Фокус «Лік Шахерызады» Напішыце на паперцы (не паказваючы) трохзначны лік, а затым прыпішы яшчэ раз той жа самы лік. Атрыманы шасцізначны лік падзяліце самі (ці прапануеце любому іншаму) падзяліць, не паказваючы, без астатку на 7. Вынік дзялення яшчэ раз падзяліце самі (або перадаўшы другому) без астатку на 11, а затым на 13. Пасля трохразовага дзялення павінны атрымацца загаданы лік.

Сакрэт фокусу. Успомнім, што прыпісаць да трохзначнага ліку яго самога - значыць, памножыць яго на 1001 - лік Шахерызады. Але 1001 = 7 · 11 · 13. А ў выніку дзялення паслядоўна на гэтыя тры лікі павінна зноў атрымацца першапачатковы лік.

25. Арыфметычныя гульні

1. Знайдзіце заканамернасць і ўстаўце прапушчаны лік (лікі):

А) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., 21, 34 ..

Б) 7, 17, 37, 77, ..., 317 ..

у) 17, 23, 13, 11, ..., 15 ..

2. Аднавіце прыклад:

http://mmmf.msu.ru/archive/20052006/z5/list25/zu2.PNG

3. Які лік у 7 разоў большы за сваю апошняю лічбу?

4. Расшыфруйце прыклад:

ТАМТАМ+МРАК=КЫШМАР

5. Паміж некаторымі з лічбаў 1 2 3 4 5 6 7 8 9, напісанымі ў дадзеным парадку, пастаўце знакі складання і аднімання так, каб атрымаўся лік 100.

6. Расшыфруйце прыклад: Д-У-А = Д: У: А = 2 (розныя літары адпавядаюць розным лічбам)

7. Магічны квадрат - гэта квадрат , у якога сумы лікаў у клетках на кожнай гарызанталі, вертыкалі і на дыяганалях аднолькавыя.

А) упішыце ў клеткі квадрата 4х4 лікі ад 1 да 16, кожны толькі адзін раз, так, каб атрымаўся магічны квадрат.

Б) тое ж самае для квадрата 5х5 і лікаў ад 1 да 25.

31.Геаметрычныя задачы на вычэрчванне фігур без адрыву алоўка ад паперы

Напэўна, усе памятаюць з дзяцінства, што вельмі папулярная была наступная задача: не адрываючы алоўка ад паперы і не праводзячы па адной лініі двойчы, начарціць "адкрыты канверт": Паспрабуйце начарціць "адкрыты канверт".

http://festival.1september.ru/articles/101844/img1.gif

Як вы бачыце, што ў некаторых атрымліваецца, а ў некаторых не. Чаму гэта адбываецца? Як правільна чарціць, каб атрымалася? І для чаго гэта патрэбна?

Адзін гістарычны факт. Горад Кенігсберг (зараз ён называецца Калінінград) стаіць на рацэ. Некалі там было 7 мастоў, якія звязвалі паміж сабой берагі і два астраўкі. Жыхары горада заўважылі, што яны ніяк не могуць здзейсніць прагулку па ўсіх сямі мастах, прайшоўшы па кожнаму з іх роўна адзін раз.

Так з’явілася галаваломка: "Ці можна прайсці ўсе сем кёнігсбергскіх мастоў роўна адзін раз і вярнуцца ў зыходнае месца?".

http://festival.1september.ru/articles/101844/img2.gif

У 1735 годзе гэта задача стала вядомая Леанарду Эйлеру. Эйлер высветліў, што такога шляху няма, г. зн. даказаў, што гэтая задача невырашальная. Вядома, Эйлер рашыў не толькі задачу аб кёнігсбергскіх мастах, а цэлы клас аналагічных задач, для якіх распрацаваў метад рашэння. Можна заўважыць, што задача складаецца ў тым, каб па карце правесці маршрут - лінію, не адрываючы алоўка ад паперы, абыйсці ўсе сем мастоў і вярнуцца ў пачатковую кропку. Таму Эйлер стаў разглядаць замест карты мастоў схему з пунктаў і ліній, адкінуўшы масты, узгоркі і берагі, як нематэматычныя паняцці. Вось што ў яго атрымалася:

http://festival.1september.ru/articles/101844/img3.gif

А, В - узгоркі, M, N - берагі, а сем крывых - сем мастоў.

Зараз задача такая - абысці контур на малюнку так, каб кожная крывая праводзілася роўна адзін раз. У наш час такія схемы з пунктаў і ліній сталі называць графамі, пункты называюць вяршынямі графа, а лініі - рэбрамі графа. У кожнай вяршыні графа сыходзіцца некалькі ліній. Калі лік ліній цотны, то вяршыня называецца цотнай, калі лік вяршынь няцотны, то вяршыня называецца няцотнай.

Дакажам невырашальнасць нашай задачы. Як бачым, у нашым графе ўсе вяршыні няцотныя. Для пачатку дакажам, што, калі абыход графа пачынаецца не з няцотнага пункту, то ён абавязкова павінен скончыцца ў гэтым пункце.

http://festival.1september.ru/articles/101844/img4.gif

Разгледзім для прыкладу вяршыню з трыма лініямі. Калі мы па адной лініі прыйшлі, па іншай выйшлі, і па трэцяй зноў вярнуліся. Усё, далей ісці няма куды (рэбраў больш няма). У нашай задачы мы сказалі, што ўсе пункты няцотныя, значыць, выйшаўшы з адной з іх, мы павінны скончыць адразу ў трох астатніх няцотных пунктах, чаго не можа быць. Да Эйлера ні каму ў галаву не прыходзіла, што галаваломкі аб мастах і іншыя галаваломкі з абыходам контуру, мае дачыненне да матэматыкі. Аналіз Эйлера такіх задач "з'яўляецца першым парасткам новай вобласці матэматыкі, сёння вядомай пад назвай тапалогія".

Тапалогія - гэта раздзел матэматыкі, які вывучае такія ўласцівасці фігур, якія не мяняюцца пры дэфармацыях, якія вырабляюцца без парываў і склейвання. Напрыклад, з пункту гледжання тапалогіі, круг, эліпс, квадрат і трохвугольнік валодаюць аднолькавымі ўласцівасцямі і з'яўляюцца адной і той жа фігурай, так як могуць дэфармавацца адну ў іншую, а вось кольца да іх не ставіцца, бо, каб яго дэфармаваць у круг, неабходнае злепліванне.

Правілы вычэрчвання графа.

1. Калi ў графе няма няцотных пунктаў, то яго можна начарціць адным росчыркам, не адрываючы алоўка ад паперы, пачынаючы з любога месца.

2. Калi ў графе дзве няцотныя вяршыні, то яго можна начарціць адным росчыркам, не адрываючы алоўка ад паперы, прычым вычэрчванне трэба пачынаць у адной няцотнай кропцы, а скончыць у іншай.

3. Калi ў графе больш за два няцотныя пункты, то яго нельга начарціць адным росчыркам алоўка.

Вернемся да нашай задачы з адкрытым канвертам. Падлічым колькасць цотных і няцотных кропак: 2 няцотныя і 3 цотныя, значыць, гэтую фігуру можна начарціць адным росчыркам, прычым пачаць трэба ў няцотнай кропцы.

Вызначце, якія фігуры можна пабудаваць, а якія нельга.