Дзялімасць

4. Дзялімасць. Прыметы дзялімасці

Спосабы выканання дзялення вельмі простыя, цяпер кожны вучань пасля навучання дзяленню мнагазначнага ліку на адназначны і мнагазначнага ліку на мнагазначны лёгка і хутка выконвае дзяленне і атрымлівае вынік. Правілы выканання дзялення не заўсёды былі такімі. Нашы продкі карысталіся вельмі грувасткімі і працаёмкімі прыёмамі, прычым у розных народаў былі свае правілы.  Даўней казалі: «Множанне - пакута, а з дзяленнем - бяда». Існавала вельмі шмат розных прыёмаў выканання множання і дзялення. Засвойваліся гэтыя прыёмы з вялікай цяжкасцю і вельмі доўга. Людзей, якія маглі выконваць множанне і дзяленне, было вельмі мала, лічылася, што для выканання гэтых аперацый трэба прыродная здольнасць, а просты чалавек гэтаму навучыцца не мог.

Карысна ведаць некаторыя ўласцівасці дзялімасці для натуральных лікаў:

• Калі а дзеліцца на с і b дзеліцца на с, то сума a+b дзеліцца на c. 
• Калі а дзеліцца на с і b дзеліцца на с, то рознасць a-b (a-b> 0) дзеліцца на c. 
• Калі а дзеліцца на c або b дзеліцца на с, то здабытак ab дзеліцца на c. 
• Калі натуральны лік a дзеліцца на здабытак натуральных лікаў b і c, то a дзеліцца на кожны з лікаў b і c. 
• Калі a дзеліцца на b і b дзеліцца на с, то і а будзе дзяліцца на с

Для таго каб хутка даведацца, ці дзеліцца адзін лік на другі, не звяртаючыся непасрэдна да выканання дзялення, былі ўсталяваныя прыметы дзялімасці.

• Лік дзеліцца на 2, калі ён заканчваецца цотнай лічбай (2, 4, 6, 8) ці нулём. 
• Лік дзеліцца на 3, калі сума яго лічбаў дзеліцца на 3.
• Лік дзеліцца на 4, калі дзве апошнія лічбы ў яго запісе нулі, або ўтвараюць лік, які дзеліцца на 4.
• Лік дзеліцца на 5, калі ён заканчваецца 0 або 5.
• Лік дзеліцца на 6, калі ён дзеліцца на 3 і на 2.
• Лік дзеліцца на 9, калі сума яго лічбаў дзеліцца на 9.
• Лік дзеліцца на 10, калі ён заканчваецца 0.
• Лік дзеліцца на 25, калі дзве апошнія лічбы яго запісу нулі або ўтвараюць лік, які дзеліцца на 25.
• Лік дзеліцца на 8, калі тры апошнія лічбы ў яго запісе нулі, або ўтвараюць лік, які дзеліцца  на ​​8.
• Лік дзеліцца на 11, калі рознасць паміж сумай лічбаў, якія стаяць на няцотных месцах, і сумай лічбаў, якія стаяць на цотных месцах, дзеліцца на 11, або гэтыя сумы роўныя.

5. Простыя і састаўныя лікі

У залежнасці ад таго, колькі дзельнікаў мае лік, лікі дзеляцца на простыя і састаўныя. Веданне на памяць простых лікаў, або праверка іх па табліцы, выкарыстоўваецца для скарачэння дробаў, знаходжання найбольшага агульнага кратнага і найменшага агульнага назоўніка і ў іншых вылічэннях.

Просты лік - гэта лік, у якога толькі два дзельнікі: 1 і сам лік. Напрыклад: 13 (1 * 13 = 13); 457 (1 * 457 = 457). Усе простыя лікі зведзеныя ў табліцу простых лікаў, з якой пажадана ведаць на памяць адназначныя і двухзначныя простыя лікі, што дапаможа  вылічэнню па многіх тэмах школьнай праграмы. 

Састаўныя лікі - лікі кратныя тром і больш натуральным лікам

Натуральны лік, які мае натуральны дзельнік, адрозны ад яго самога і 1, называецца састаўным лікам. Напрыклад: 6 (1 * 2 * 3 = 6); 128 (1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128; 1 ​​* 4 * 4 * 8 = 128; 1 ​​* 4 * 32 = 128). 

Лік 1 не адносіцца ні да простых, ні да састаўных лікаў. Метад пошуку простых лікаў распрацаваны і ўжыты старажытнагрэчаскім вучоным Эратасфенам.

З гісторыі простых лікаў

Цікавасць старажытных матэматыкаў да простых лікаў звязана з тым, што любы лік з’яўляецца або простым, альбо можа быць прадстаўлены ў выглядзе здабытку простых лікаў. Г.зн. простыя лікі - гэта як бы цаглінкі, з якіх будуюцца астатнія натуральныя лікі. 

Грэчаскі матэматык Эратасфен, які жыў больш чым за 2000 год да н.э., склаў першую табліцу простых лікаў. 

Эратасфен нарадзіўся ў горадзе Кірэня, атрымаў адукацыю ў Александрыі пад кіраўніцтвам Калімаха і Лісані, у Афінах слухаў філосафаў Арыстона Хіоскага і Аркесілая, цесна зблізіўся са школай Платона. У 246 г. да н.э., пасля смерці Калімаха, цар Пталамей Эвергет выклікаў Эратасфена з Афін і даручыў яму загадваць Александрыйскай бібліятэкай. Эратасфен працаваў у многіх галінах навукі: філалогія, граматыка, гісторыя, літаратура, матэматыка, храналогія, астраномія, геаграфія і музыка. 

Для адшукання простых лікаў Эратасфен прыдумаў такі спосаб. Ён запісаў усе лікі ад 1 да нейкага ліку, а потым выкрасліў адзінку, якая не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам, затым выкрэсліў праз адзін усе лікі, якія ідуць пасля 2 і кратныя 2, (г.зн. 4, 6, 8, і г.д.). Першым пакінутым лікам пасля 2 быў лік 3. Далей выкрэсліваліся ўсе лікі кратныя 3, г.зн. 6, 9, 12, і г.д.  У рэшце рэшт засталіся невыкрэсленымі толькі простыя лікі. 

Так як грэкі рабілі запісы на пакрытых воскам таблічках, або на нацягнутым папірусе, а лікі не выкрэсліваліся, а выколваліся іголкай, то табліца ў канцы вылічэнняў нагадвала рэшата. Таму метад Эратасфена называюць рэшатам Эратасфена. У гэтым рэшаце «адсейваюцца» простыя лікі ад састаўных.Такім спосабам у цяперашні час складаюць табліцы простых лікаў, але ўжо з дапамогай вылічальных машын. 

Простымі лікамі займаўся і старажытнагрэчаскі матэматык Еўклід (III в. да н.э.). У сваёй кнізе "Пачаткі", якая была на працягу двух тысяч гадоў асноўным падручнікам матэматыкі, даказаў, што простых лікаў бясконца шмат, г.зн. за кожным простым лікам ёсць яшчэ большы просты лік. А значыць,  мы можам знайсці просты лік большы за 997, які дадзены ў падручніку, але самага вялікага простага ліку не можам знайсці, бо іх  бясконца многа.

6. Дружалюбныя, дасканалыя, кампанейскія лікі

Дружалюбныя лікі.

Дружалюбныя лікі - гэта два натуральныя лікі, для якіх сума ўсіх дзельнікаў першага  ліку (акрамя яго самога) роўная другому ліку і сума ўсіх дзельнікаў другога ліку (акрамя яго самога) роўная першаму ліку. Па сведчанні антычнага філосафа Ямвліха, вялікі Піфагор на пытанне, каго лічыць сваім сябрам, адказаў: "Таго, хто з'яўляецца маім другім Я, як лікі 220 і 284".

 Гісторыя дружалюбных лікаў губляецца ў глыбіні стагоддзяў. Гэтыя дзіўныя лічбы былі адкрыты паслядоўнікамі Піфагора. Праўда піфагарыйцы ведалі толькі адну пару дружалюбных лікаў - 220 і 284. Праверым гэтую пару лікаў на ўласцівасць дружалюбных лікаў:  1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,  1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Доўга лічылася, што наступную пару дружалюбных лікаў 17296 і 18416 адкрыў ў 1636 году знакаміты французскі матэматык П'ер Ферма. Але нядаўна ў адным з трактатаў арабскага вучонага Ібн аль-Банны (1256-1321) былі знойдзеныя радкі: "Лічбы 17296 і 18416 з'яўляюцца дружалюбнымі. Алах усяведаючы". А задоўга да Ібн аль-Банны іншы арабскі матэматык абу-Хасан Сабіт ібн Кур (836-901) сфармуляваў правіла, па якім можна атрымаць некаторыя дружалюбныя лікі:

калі для некаторага n лікі p = 3 · 2n-1-1, q = 3 · 2n-1 і r = 9 · 22n-1-1 простыя, то лікі A = 2npq і B = 2nr - дружалюбныя.

Пры n = 2, лікі p = 5, q = 11, r = 71- простыя, і атрымліваецца пара лікаў Піфагора: 220 і 284.

Пры n = 4, лікі p = 23, q = 47, r = 1151 простыя, і атрымліваецца пара лікаў Ібн аль-Банны і Ферма 17296 і 18416.

Пры n = 7 атрымліваецца пара лікаў, знойдзеная ў 1638 году французскім матэматыкам і філосафам Рэнэ Дэкарт. Пасля Дэкарта першым атрымаў новыя дружалюбныя лікі Леанард Эйлер. Ён адкрыў 59 пар дружалюбных лікаў, сярод якіх былі і няцотныя лікі, напрыклад, 9773505 і 11791935. Ён даваў пяць спосабаў адшукання дружалюбных лікаў. Гэтую працу працягнулі матэматыкі наступных пакаленняў. У цяперашні час вядома каля 1100 пар дружалюбных лікаў. У 1867 годзе шаснаццацігадовы італьянец Мікола Паганіні здзівіў матэматычны свет паведамленнем пра тое, што лікі 1184 і 1210 дружалюбныя! Гэтую пару, бліжэйшую да 220 і 284, прагледзелі ўсе знакамітыя матэматыкі, якія вывучалі дружалюбныя лікі. Пару лікаў 220 і 284 сталі лічыць сімвалам дружбы. 

У Сярэднія стагоддзі мелі хаджэнне талісманы з выгравіраванымі на іх лікамі 220 і 284, нібыта спрыяльнымі ўмацаванню любові. Дружалюбныя лікі працягваюць хаваць мноства таямніц. Напрыклад, ці ёсць пары, у якіх адзін лік цотны, а другі - няцотны? Ці бясконцы лік пар дружалюбных лікаў? Ці існуе агульная формула, якая дазваляе апісаць ўсе пары дружалюбных лікаў? 

Дасканалыя лікі

Часам прыватным выпадкам дружалюбных лікаў лічацца дасканалыя лікі: кожны дасканалы  лік дружалюбны сам сабе. Нікам Гераскі, знакаміты філосаф і матэматык, пісаў: "Дасканалыя лікі прыгожыя. Але вядома, што рэчы рэдкія і нешматлікія, пачварныя сустракаюцца ў большасці. Залішнімі і недастатковымі з'яўляюцца  амаль усе лікі, у той час як дасканалых лікаў крыху" Але, колькі іх, Нікам, які жыў у першым стагоддзі нашай эры не ведаў.

Дасканалым называецца лік, роўны суме ўсіх сваіх дзельнікаў (у тым ліку 1, але выключаючы сам лік). Першым выдатным дасканалым лікам, пра які ведалі матэматыкі Старажытнай Грэцыі, быў лік "6". На шостым месцы на кліканым балі узляжаў самы паважаны, самы ганаровы госць. У біблейскіх паданнях сцвярджаецца, што свет быў створаны ў шэсць дзён, бо больш дасканалага, сярод дасканалых лікаў, чым "6", няма, паколькі яно першае сярод іх. 

Разгледзім лік 6. Лік мае дзельнікі 1, 2, 3 і сам лік 6. Калі скласці дзельнікі, адрозныя ад самага лікі 1 + 2 + 3 дык мы атрымаем 6. Значыць, лік 6 дружалюбны самому сабе і з'яўляецца першым дасканалым лікам. 

Наступным дасканалым лікам, вядомым старажытным, было "28". Марцін Гарднер бачыў у гэтым ліку асаблівы сэнс. На яго думку, Месяц абнаўляецца за 28 сутак, таму што лік "28" - дасканалы. У Рыме ў 1917 годзе пры падземных работах было адкрыта дзіўнае збудаванне: вакол вялікай цэнтральнай залы размешчаны дваццаць восем келляў. Гэта быў будынак неапіфагарыйскай акадэміі навук. У ёй было дваццаць восем членаў. Да апошняга часу столькі ж членаў, часта проста па звычаю, прычыны якога даўным-даўно забытыя, належыла мець у многіх навуковых грамадствах. 

Да Еўкліда былі вядомыя толькі гэтыя два дасканалыя лікі, і ніхто не ведаў, ці існуюць іншыя дасканалыя лікі і колькі такіх лікаў навогул можа быць. Дзякуючы сваёй формуле, Еўклід здолеў знайсці яшчэ два дасканалыя лікі: 496 і 8128. Амаль паўтары тысячы гадоў людзі ведалі толькі чатыры дасканалыя лікі, і ніхто не ведаў, ці могуць існаваць яшчэ лікі, якія можна прадставіць у Еўклідавай формуле, і ніхто не мог сказаць, ці магчымыя дасканалыя лікі, якія не задавальняюць формуле Еўкліда. Формула Еўкліда дазваляе без цяжкасці даказваць шматлікія ўласцівасці дасканалых лікаў. 

- Усе дасканалыя лікі трохвугольныя. Гэта значыць, што ўзяўшы дасканалы лік шароў, мы заўсёды зможам скласці з іх роўнастаронні трохвугольнік. 

- Усе дасканалыя лікі, акрамя 6, можна прадставіць у выглядзе частковых сум раду кубоў паслядоўных няцотных лікаў 13 + 33 + 53 ...

- Сума адваротных усім дзельнікам дасканалага ліку і яго самога, заўсёды роўная 2.

Кампанейскія лікі

Паняцці дасканалых і дружалюбных лікаў часта згадваюцца ў літаратуры па займальнай матэматыцы. Аднак чамусьці мала гаворыцца пра тое, што лікі могуць сябраваць і кампаніямі. Паняцце кампанейскага лікаў добра раскрываецца ў англамоўных крыніцах. Кампанейскім называецца такая група з k лікаў, у якіх сума ўласных дзельнікаў першага ліку роўная другому, сума ўласных дзельнікаў другога - трэцяму і г.д. А першы лік роўны суме ўласных дзельнікаў k-га ліку. 

Ёсць кампаніі па 4, 5, 6, 8, 9 і нават 28 удзельнікаў, а вось па тры не знойдзена. Прыклад пяцёркі, пакуль адзіна вядомай: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Лікавыя забабоны і містычныя ўяўленні лікаў. Лік звера 666.

Лік звера 666 - лік Сміта, сума яго лічбаў роўная суме лічбаў яго простых множнікаў: 2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18.

666 з'яўляецца сумай квадратаў першых сямі простых лікаў: 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666.

666 роўна рознасці і суме шостай ступені першых трох натуральных лікаў: 16 - 26 + 36 = 666.

666 роўна суме сваіх лічбаў і кубоў сваіх лічбаў: 6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 = 666.

666 можна запісаць дзевяццю рознымі лічбамі двума спосабамі ў іх нарастанні і адным у спаданні: 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666;  123 + 456 + 78 + 9 = 666; 9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666

Сума ўсіх цэлых лікаў ад 1 да 36 уключна - 666.

Гэта азначае, што 666 - гэта 36-ы трохвугольны лік. 

Лік Шахірэзады

Лік Шахірэзады - лік 1001, які фігуруе ў загалоўку казак "Тысяча і адна ноч". З пункту гледжання матэматыкі лік 1001 валодае цэлым шэрагам цікавых уласцівасцяў: гэта самы маленькі натуральны чатырохзначны лік, які можна прадставіць у выглядзе сумы кубоў двух натуральных лікаў: 1001 = 103 +13; лік 1001 складаецца з 77 злапамятных чортавых тузінаў (1001 = 13 · 77), або з 91 ліку 11, ці са 143 сямёрак; далей, калі будзем лічыць, што год складаецца з 52 тыдняў, то 1001 - колькасць начэй на працягу года або па- іншаму: 1001 = 52 · 7 +26·7 + 13 · 7.

Лікі-блізняты

Простыя лікі-блізняты гэта пара простых лікаў, якія адрозніваюцца на 2. Усе пары простых лікаў – блізнят, акрамя (3, 5) маюць выгляд 6n+1, або 6n-1 . Першыя простыя лікі-блізняты: (881, 883)