Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Каким сверлом можно просверлить квадратное отверстие?

Треугольник Рёло — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса a с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).

Советы по математике: как легко выучить формулы

Формулы по математике, особенно сложные, например, тригонометрические, знать наизусть необходимо. Это значительно облегчит процесс решения как более простых, так и сложных задач, позволив сконцентрироваться на выстраивании алгоритма решения, не отвлекаясь на поиск нужных ответов в учебниках. Кроме того, зная формулы наизусть, проще методом подбора найти подходящую, не зная точно, какая именно потребуется для решения задачи. Многие ученики считают, что заучивать формулы нет смысла, так как практически любую из них можно вывести. Однако время на экзамене ограничено, а совершить ошибку при выводе в эмоционально напряжённой атмосфере очень легко.                 
Решив выучить математические формулы, обратите внимание на приведённые ниже рекомендации:

 1.  Регулярно возвращайтесь к уже выученным формулам и старайтесь концентрировать своё внимание на них, это поможет в будущем гораздо легче находить в памяти необходимый материал. Заучив один её  раз и затем “забросив” – вы рискуете её забыть, так как информация, которая не используется длительное время, стирается из памяти.

2. Для облегчения запоминания следует использовать все типы памяти – слуховую, зрительную, ассоциативную и моторную.

3.  Все формулы следует проговаривать, причём полезно это делать, как слева направо, так и справа налево.

4.  Ассоциативная память позволяет гораздо на больший срок сохранить изученный материал, поэтому изучив группу формул, следует проанализировать её, найти отличия и схожие черты между ними, а также сравнить их с другими, которые уже знаете.

5. При составлении конспекта необходимо выделять важные части цветом или подчёркиванием, акцентируя зрительную память на необходимых формулах.

Кружка, пончик и немного топологии

Гипотеза Пуанкаре́  — доказанная  математическая гипотеза  о том, что всякое односвязное компактное трёхмерноемногообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

    Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом и подтверждена математическим сообществом в 2006 году, став первой и единственной на данный момент (2017 год) из решённых задач тысячелетия. Прежде чем выяснить, в чем состоит гипотеза Пуанкаре, необходимо разобраться, что это за раздел математики - топология, - к которому эта самая гипотеза относится. Топология многообразий занимается свойствами поверхностей, которые не меняются при определенных деформациях. Поясним на классическом примере. Предположим, что перед читателем лежит пончик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что попить кофе из пончика не получится при всем желании. 
    Однако тополог скажет, что чашка и пончик - это одно и то же. И объяснит это так: вообразим, что чашка и пончик представляют собой полые внутри поверхности, изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведём умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом её ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма пончика). Посмотреть, как примерно выглядит этот процесс можно.   

   

Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь, например, интуитивно понятно - как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты - характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, - понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре. 

Древние китайцы оказались отличными математиками

Несколько лет назад пекинский Университет Цинхуа (КНР) получил в дар почти 2500 бамбуковых полосок. Грязные, заплесневелые, они, скорее всего, были найдены при незаконных раскопках древней могилы. Даритель купил их на гонконгском рынке. Радиоуглеродный метод показал примерно 305 год до н.э. (период Сражающихся царств, предшествовавший объединению страны).

Каждая полоска имела 7–12 мм в ширину и до полуметра длиной. Сверху вниз шли знаки древней китайской каллиграфии, нанесённые чёрными чернилами. Историки пришли к выводу, что в общей сложности перед ними 65 древних текстов, и назвали находку одним из важнейших артефактов того периода дошедших до наших дней.

   Полоски перемешались, потому что нити, сшивавшие рукопись в свиток, давно распались. Одни полоски были порваны, другие пропали, поэтому расшифровка текстов превратилась в настоящую головоломку. Среди прочих выделялась 21 полоска, ибо на них стояли только цифры. Они оказались таблицей умножения. Если расположить полоски должным образом, возникает матричная структура. Верхняя строка и крайний правый столбец содержат расположенные справа налево и сверху вниз соответственно одни и те же 19 чисел: 0,5, целые от одного до девяти, а также кратные десяти от 10 до 90.

Подобно современной таблице умножения числа на пересечении каждой строки и столбца представляют собой результаты умножения соответствующих чисел. Таблица позволяет также перемножать любое целое число или целое и одну вторую от 0,5 до 99,5.

Математические секреты вековой давности

Учёные разгадали математические секреты. Спустя 100 лет заполнены пропуски в записях Рамануджана.

Находясь на смертном одре, блестящий индийский математик Сриниваса Рамануджан записал несколько математических функций, которые, по его словам, явились ему во снах. И теперь, спустя 100 лет, ученые-математики нашли доказательство истинности вышеупомянутых функций. Рамануджан, математик-самоучка, родился в деревне в Южной Индии. Всю свою жизнь он провёл, мысленно блуждая в математических дебрях, что дважды стало причиной его исключения из индийских колледжей. Некоторые из записей, описывающих его работу, попали в руки известных учёных-математиков. Выдающийся английский математик Годфри Харолд Харди  признал гениальность индийского мальчика и пригласил его на учёбу в Англию, в Кембриджский университет. Уже находясь в Англии, Рамануджан опубликовал более 30 научных работ и стал членом Королевского Общества. Но неблагоприятный климат Туманного Альбиона подорвал здоровье Сриниваса Рамануджана, и, умирая, он отправился на родину, в Индию.

И, уже находясь на смертном одре в 1920 году Сриниваса Рамануджан записал ряд таинственных функций, которые подобны тета-функциям и модулярным функциям. Происхождение таких невероятно сложных математических понятий в голове индийского учёного остаётся тайной, но сам Рамануджан считал, что эти математические функции ему во сне подсказывает индийская богиня Намагири.

Как запомнить тригонометрическую формулу

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зазубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. 

Но достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:

1.               Основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1

2.               Определение тангенса: 

               

3.               Определение котангенса: 

4.               Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb

5.               Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

Современные открытия в области математики

В  1900 году на математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт предложил список из 23 проблем, которые должны быть решены в 21 столетии. На сегодняшний день разрешена 21 проблема. В 1970 году выпускник матмеха Ю.В. Матиясевич завершил решение десятой проблемы Гильберта.

В начале 21 века в Математическом институте Клэя был составлен аналогичный список из семи важнейших задач математики на 21 столетие. При этом за решение каждой из них объявлялся приз размером 1 миллион долларов. Еще в 1904 году одну из важнейших задач сформулировал Пуанкаре: все трёхмерные поверхности в четырёхмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Если говорить простыми словами, то гипотезу Пуанкаре можно изложить так: если трёхмерная поверхность в чем-то имеет сходство со сферой, то ёе можно расправить в сферу. Утверждение Пуанкаре называют формулой Вселенной из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно даёт ответ на вопрос о форме Вселенной. Данное открытие играет свою роль и в развитии нанотехнологий.

Что касается других современных открытий в области математики, за прошедшие годы был решён ряд важнейших классических проблем, которые сохраняют актуальность в современной науке, намечены и развиты новые пути исследований, поставлены и решены серьёзные прикладные задачи. Все это стало возможным благодаря инновационным технологиям.

Например, в Математическом институте им. В.А. Стеклова академик А.А. Болибрух решил классическую проблему сведения произвольной неприводимой системы линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами к стандартной биркгофовой форме при помощи аналитических преобразований.