Как запомнить тригонометрическую формулу

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зазубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. 

Но достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:

1.               Основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1

2.               Определение тангенса: 

               

3.               Определение котангенса: 

4.               Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb

5.               Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

6.      Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb-cosasinb

7.      Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)-sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

8.                  Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa

9.                  Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos²a-sin²a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

10.  Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos²a-sin²a)sina = 2sinacos²a+sinacos²a-sin³a = 3sinacos²a-sin³a = 3sina(1-sin²a)-sin³a = 3sina-4sin³a

11.  Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-sin2asina = (cos²a-sin²a)cosa-(2sinacosa)sina = cos³a-sin²acosa-2sin²acosa = cos³a-3sin²acosa = cos³a-3(1-cos²a)cosa = 4cos³a-3cosa

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1 и разделим его на cos²a. Получим:

12.              Связь тангенса и косинуса: 

13. Аналогично получаем связь котангенса и синуса: 

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

14.              Формула тангенса суммы:   

Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:   

15.       Формула тангенса двойного угла: 

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos2a = cos²a-sin²a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos²a-sin²a+cos²a+sin²a
2cos²a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем: 

16.              Косинус половинного угла: 

Знак берётся в зависимости от квадранта.
Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos2a-1 = cos²a-sin²a-cos²a-sin²a
2sin²a = 1-cos2a

17.              Cинус половинного угла: 

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.
Поскольку a = x+y, b = x-y, то 

18.              Представление суммы синусов в виде произведения: 

Сразу же можно вывести 

19.              Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму:

 sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))